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1、函数的最大值与最小值一、复习与引入1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:①如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.二、新课——函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的
2、图象.发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作
3、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区
4、间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.三、例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.当x变化时,的变化情况如
5、下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.例2:求函数在区间[-1,3]上的最大值与最小值.解:令,得相应的函数值为:又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0比较得,f(x)在点处取得最大值在点处取得最小值延伸1:设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.解:令得x=0或a.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f’(x)+
6、0-0+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)>f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.说明:
7、由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值,因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.解:令,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.而f(0)=f(1)=1,因为p>1,故1>1/2p-1.所以f(x)的最小值为,最大值为1.从而函数f(x)的值域为练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值.解:令,解得在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4
8、]上的最大值和最小值.答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.四、应用1.实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为
