复变函数第一章复数与复变函数

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1、第一章复数与复变函数§1.1复数§1.2复平面点集§1.3扩充复平面及其球面表示复变函数与积分变换及应用背景（莫里斯克莱恩）(1908-1992)(《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.的概念,从而建立了复变函数理论.为了建立代数

2、方程的普遍理论，人们引入复数复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.(1)代数方程在实数范围内无解.（阿达马）说:实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了应用复变(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5)应用于计算渗流问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.例如：热炉中温度的计算.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题.变换应用于频谱分析和信号处理等.(8)复变函数理论也是积分变换的重要基础.

3、积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析.随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(9)变换应用于控制问题.在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(11)Z变换应用于离散控制系统.(12)小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等.(13)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和

4、工程计算设计的软件(10)主要内容本章引入复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念.§1.1复数1复数的概念2复数的四则运算3复数的表示方法4乘幂与方根1.1.1复数的概念由于解代数方程的需要,人们引进了复数.例如，简单的代数方程在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，引入等式由该等式所定义的数称为当复数的虚部为零、实部不为零(即y=0,)时，复数x+iy等于x+i0为实数x,而虚部不为零(即)的复数称为虚数.在虚数中,实部为零(即x=0,)的称为纯虚数.例如,3+0i=3是实数,4+5i,-3i都是虚数,而-3i是纯虚数.数x

5、+iy(或x+yi)的,并记做称形如x+iy或x+yi的表达式为复数，其中x和y是任意两个实数.把这里的x和y分别称为复显然,z=x+iy是x-iy的共轭复数,即共轭复数复数x-iy称为复数x+iy的(其中x,y均为实数),并记做.设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为z1=z2.注意一般来说，复数不能比较大小.1.1.2复数的四则运算复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：(1)复数的和与差(2)复数的乘积(3)复数的商复数运算的性质1.交换

6、律2.结合律3.分配律解：例1.1设求与例1.2……给定一复数z=x+iy,在坐标平面XOY上存在惟一的点P(x,y)与z=x+iy对应.反之,对XOY平面上的点P(x,y),存在惟一的复数z=x+iy与它对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射.因此可以用XOY平面上的点表示复数z.这时把XOY平面平面称为复平面.有时简称为z平面.1.1.3复平面与复数的表示法显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数与y轴上的点(除原点)对应.因此,称x轴为实轴,y轴为虚轴.今后把复平面上的点和复

7、数z不加区别,即“点z”和“复数z”是同一个意思.用符号C表示全体复数或复平面.复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示(如图).这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.用表示复数z时,这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y.把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值,并记做

8、z

9、.显然复数和与差的模的性质从几何上看,复数z2-z1所表示的向量,与以z1为起点、z2为终点的向量相等(方向相同,模相等).复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算.如果点P不是原点(即),那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z

10、的辐角,记做Argz.oxy(z=x+iy)P(x,y)xy对每个,都有无穷多个辐角,因此用q0表示复数z的一个辐角时,则都是复数z=x+iy所对应向量与x轴正向的夹角，这就是