空间立体几何讲义

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1、实用文档一、基本概念1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为

2、,特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为-.5.共线与共面向量（1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作∕∕.（2）共面向量：平行于同一平

3、面的向量叫做共面向量．（3）定理共线向量定理：对于空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使得共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y),使得6．注意：①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．标准文案实用文档二、空间向量的运算1、加减法  （1）空

4、间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．（2）加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．交换律：结合律：（3）推广*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算 （1）实数λ与空间向量的乘积λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．  ①当λ＞0时，λ与的方向相同；  ②当λ＜0时，λ与的方向相反； ③当λ=0时，λ=． ④

5、λ

6、=

7、

8、λ

9、，λ的长度是的长度的

10、λ

11、倍．标准文案实用文档（2）运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律分配律：结合律：3．空间向量的数量积和坐标运算坐标运算三．直线的方向向量1、直线的方向向量：   空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．标准文案实用文档3、

12、平面的法向量：   由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有.④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为=；（2）列：根据列出方程组； （3）解：

13、把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量  ；（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．四、用向量证明平行五、用向量证明垂直标准文案实用文档一．选择题（共11小题）1．已知直线l的一般方程式为x+y+1=0，则l的一个方向向量为（　　）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（1，2）D．（1，﹣2）2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=11，S5=50，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（　　）A．（﹣1，﹣3

14、）B．（1，﹣3）C．（1，1）D．（1，﹣1）3．若直线l1，l2的方向向量分别为=（2，4，﹣4），=（﹣6，9，6），则（　　）A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确4．直线a，b的方向向量分别为=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，﹣3，2），则a与b的位置关系是（　　）A．平行B．重合C．垂直D．夹角等于5．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（　　）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1C．﹣：1：1D．

15、3：2：46．已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（　　）A．，﹣，4B．，﹣，4C．，﹣2，4D．4，，﹣157．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（　　）A．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）B．=（1，3，5），=（1，0，1