实对称矩阵与相似对角阵

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1、第三节实对称矩阵与相似对角阵实对称方阵的特征值与特征向量实对称矩阵的正交相似对角化.问题与思考第六章特征值、特征向量及相似矩阵【性质6.4】(1)实对称矩阵的特征值一定为实数；(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；设、是实对称矩阵的两个特征值,证明是对应的特征向量，则==因A对称，故====且一、实对称矩阵的特征值与特征向量于是即故即与正交.证毕故====(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；此定理不予证明(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；(1)实对称矩阵的特征值一定为实数；【性质6.4】1。定义

2、(107页)如果n阶实方阵A满足ATA=E，AAT=E则称A为正交矩阵.A的行（列）向量组都是单位向量且两两正交.二、实对称矩阵的正交相似对角化复习：2.正交矩阵的性质(1)将线性无关的向量组1，2，…，r正交化.令1=1，2=2-1，3=3-1-2，…………………，r=r-1-2-…-r-1.(2)将1，2，…，r单位化，令1=，2=，…，r=.2、将线性无关的向量组1，2，…，r化为一组两两正交的单位向量组的方法。施密特(Schmidt)方法（108页）【定理6.4】设A为n阶实对称矩阵，n阶

3、正交矩阵P，则必存在使得其中是A的n个特征值.【证】设A的所有互不相等的特征值为它们的重数依次是想？它们的和等于多少？由对称矩阵的特征值的性质可知对应于特征值恰有个线性无关的特征向量，把它们标准正交化即得个标准正交的特征向量.由知这样的特征向量共可得n个..由性质6.4(2)知这n个单位特征向量两两正交,于是以它们为列向量构成正交矩阵P,得证毕【定理6.4】设A为n阶实对称矩阵，n阶正交矩阵P，则必存在使得其中是A的n个特征值.有此可见，实对称矩阵A一定可以对角化，与之相似的对角阵的对角元素就是A的特征值，而正交矩阵P是其对应的两两正交的单位特征向

4、量所组成。下面,给出求正交矩阵P的步骤1、求实对称矩阵A的全部特征值,即求解特征方程的全部根；2、将每一个特征值分别代入求出基础解系；将基础解系正交单位化3、作正交矩阵P4、事实上,做完这一步,就已经求出A的相似对角阵.例题分析例2设求一个正交矩阵P使为对角阵.解(1)求特征值故得特征值注意：可看出，实对称矩阵的特征值为实数2、求出基础解系——特征向量当时,由得基础解系将基础解系正交单位化（施密特正交单位化）；将正交化得再将单位化得注意：P1P2仍然是对应于特征值1的特征向量，只不过是单位正交的。当时，由得基础解系注意：实对称矩阵对应于不同特征值的

5、特征向量必相互正交；所以P1P2P3为两两正交的单位特征向量。再将单位化得4、作正交矩阵P5、对角阵解题过程注意：1、P中特征向量与对角阵中特征值的顺序要一致2、实对称阵的重特征值对应的特征向量有多种取法，故这里的正交矩阵P不唯一。3、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，可检验计算的正确性【定理6.4】设A为n阶实对称矩阵，n阶正交矩阵P，则必存在使得其中是A的n个特征值.思考：对实对称矩阵A，如何求一个可逆矩阵Ｐ，使得ＰＴＡＰ＝∧（对角矩阵）？【例6.8】设矩阵A是3阶实对称阵，A的特征值为1，2，2，与都是矩阵A的属于特征值2的特征向量.

6、求A的属于特征值1的特征向量，并求矩阵A解设为A的属于特征值1的单位特征向量.由题意可知与均与正交，即<>=0，<>=0，【例6.8】设矩阵A是3阶实对称阵，A的特征值为1，2，2，与都是矩阵A的属于特征值2的特征向量.求A的属于特征值1的单位特征向量.解设为A的属于特征值1的单位特征向量.由题意可知与均与正交，即<>=0，<>=0，又由前面得到或解习题6-31（1）分别求出正交矩阵，使为对角阵.1、求的特征值得基础解系基础解系2、求出基础解系——特征向量得基础解系只需将基础解系单位化3、将基础解系正交单位化（施密特正交单位化）；4、作正交矩阵P三

7、、小结实对称矩阵的特征值与特征向量的基本性质实对称矩阵的正交相似对角化问题.求一个正交矩阵P，使为对角阵的解题步骤.作业：179页习题6-31（1）2183页总习题六4；6完成第六、七章大作业中第六章习题P172习题6-13