平面的斜线和平面所成的角课件

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1、平面的斜线和平面所成的角1、理解直线和平面所成的角的定义；2、掌握较简单的线面角的画法；3、了解并会应用最小角定理;4、掌握求线面角的方法。学习目标:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。简称线面角1、一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；2、一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。规定：一、平面的斜线和平面所成的角：1、直线与平面所成的角θ的取值范围是：2、斜线与平面所成的角θ的取值范围是：3、两异面直线所成的角θ的取值范围是：思考题：AGFEDCBHHC与平面AB

2、CD所成的角是？BG和EA与平面ABCD所成的角分别是？∠GBC与∠EAB∠HCDEC和EG与平面ABCD所成的角分别是？∠ACE练习:正方体ABCD－EFGH中例3:如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角。A1D1C1ABCDOB1（定义法）(1)(2)(3)作图证明计算步骤：“一作二证三求”关键：确定斜线在平面内的射影求直线与平面所成的角时,应注意的问题:1.先判断直线与平面的位置关系2.当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：（1）作图。作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜

3、线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角）。作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线。（2）证明。证明某平面角就是斜线和平面所成的角。（3）计算。通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形中计算。AlBODl是平面的斜线，A是l上任意一点，AB是平面的垂线，B是垂足，OB是斜线l的射影，θ是斜线l与平面所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？思考题：AlBODθ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，在Rt△AOC中，∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD斜线和平面所成

4、的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。C二、最小角定理：证明:设

5、AO

6、=1则引例:如图，OA是平面的斜线，AB⊥平面于B，OC是内不与OB重合的任意直线，∠AOB=，∠BOC=，∠AOC=，求证：cos=coscosABOC变式：2.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，则斜线和平面β所成的角______。βABO3.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗?如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？不

7、一定如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。例2:线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。βMNM'N'O∠MOM'就是MN与β所成的角移出图移出图MNN'M'O614M'MON'N614βMNM'N'O移出图MNN'M'O614解：当M，N在平面同则时有OM=2βMNM'N'O∠MOM'就是MN与β所成的角例2:线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。∠MOM'就是MN与β所成的角移

8、出图M'MON'N614解：当M，N在平面异则时有βMNM'N'O例2:线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。例4：已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，（1）求D1B与平面ABCD的夹角；（2）E为BB1的中点，求BD1与平面ADE所成的角。设直线AO与平面α所成角为θ，平面的一个法向量为m，则——直线与平面所成角公式1、四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，E为PC的中点，PD=DA=2，DC=4，（1）求PB与平面ABCD所成的角；

9、（2）求PB与平面BDE所成的角。2、三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB=90º，PC=BC=2，AC=1，（1）求PC与平面PAB所成的角。（2）E、F分别是线段AB、BC的中点，求AB与平面PEF所成的角；练习课堂小结：1、直线在平面上的射影；2、射影定理；3、直线与平面所成的角：①求角的过程；②角的范围；③最小角原理.4、求直线与平面所成的角的关键：求直线（或斜线）与平面所成的角关键是确定斜线在平面的射影.其步骤是：一找，二证，三求。再见2、从平面外同一点分别作该平面的垂线段和斜线段：1、点在平面上的射影

10、是一个点，斜线在平面上的射影是一条直线；直线在平面上的射影是一个点或一条直线。复习回顾（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。