数学分析第三十六次课

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1、北京理工大学第一学期《工科数学分析》第四节线性微分方程解的结构一、概念的引入解受力分析物体自由振动的微分方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:注:齐次线性方程的解符合叠加原理.例如线性无关线性相关例如定义2.一阶线性非齐次方程的解的结构:一阶线性非齐次微分方程对应的齐次方程的通解非齐次方程的一个特解（与c=0对应的特解）结论：一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和3.二阶非

2、齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理定理4通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理定理4同样可以推广到n阶非齐次方程的情形(*)(**)三、二阶线性微分方程的解法对一般的二阶线性微分方程的求解是困难的，没有一般的解法。下面介绍的是已知方程的某些解的条件下如何求得其通解。---降阶法与常数变易法已知二阶线性齐次方程的一个非零特解，求其通解是（1）的一个已知的非零特解作变量替换：代入（1）得：注意:1.降阶法----刘维尔公式----二阶齐次方程的通解是（1）的一个已知的非零特解作变量替换：作变量替换：分离变量得:两边积分得:是（1）的一

3、个已知的非零特解作变量替换：作变量替换：刘维尔公式是方程例1:设的一个解,试求方程的通解解:令代入方程并化简得作变量替换：并将代入化简得两边积分得:是方程例1:设的一个解,试求方程的通解解:令作变量替换：两边积分得:所以2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法已知相对应的线性齐次方程的通解，求二阶线性非齐次方程的特解常数变易法如果对应的齐次线性方程则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：2.常数变易法----求非齐次线性方程的特解有通解:补充条件:则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：补充条件:所以代入（1）并化简得则由

4、常数变易法可设（1）有如下形式的特解：代入（1）并化简得解之得：则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：若能求得（2）的一个特解则可按以下步骤求得（1）的通解：（2）由常数变易法求出（1）的一个特解：从而得到齐次方程（2）的通解：（1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解，（3）写出方程（1）的通解的通解例2:求方程解:由刘维尔公式得齐次方程（2）的通解为：由常数变易法，设所求方程的特解为:由得的通解例2:求方程解:由常数变易法，设所求方程的特解为:解方程组得：积分并取一个原函数得：四、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关

5、；降阶法与常数变易法；补充内容可观察出一个特解作业P3801，2，3，4,5,6.练习题练习题答案