第2章(矩阵)线性代数及其应用

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1、第2章矩阵矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分,矩阵是数学中极其重要并且应用广泛的工具.本章主要介绍矩阵概念及其运算、矩阵的初等变换、秩以及分块矩阵的有关内容.第2章矩阵第2.1节矩阵的概念第2.2节矩阵的基本运算第2.3节矩阵的初等变换与初等矩阵第2.4节逆矩阵第2.5节矩阵的秩第2.6节矩阵的分块第2.7节Mathematica软件应用第2.1节矩阵的概念1.矩阵概念矩阵一般用大写字母A、B，……表示定义特别地，有称为A的负矩阵.当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时，称它们为同型矩阵.如是同

2、型矩阵.定义设有两个m×n矩阵则称矩阵A和B相等.记作A=B矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.2.几种特殊的矩阵对角阵数量阵单位阵上（下）三角阵对称矩阵与反对称矩阵线性变换的矩阵定义主对角线以外元素均为零的n阶方阵称为对角矩阵.(1)对角矩阵是一个4阶对角矩阵.定义如果n阶对角阵所有主对角线元素都相等，则称此矩阵为n阶数量矩阵.即例如(2)数量矩阵定义如果n阶对角阵所有主对角线元素都是1，则称此矩阵为n阶单位阵.单位矩阵在矩阵运算中起到数字“1”的作用.(3)单位矩阵定义主对角线下方元

3、素均为零的n阶方阵,称为上三角矩阵.主对角线上方的元素均为零的n阶方阵,称为下三角矩阵.A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵.(4)上（下）三角形矩阵定义如果n方阵A=（aij）中的元素满足aij=aji,i,j=1,2,…,n,则称A为对称矩阵.(5)对称矩阵、反对称矩阵如是一个3阶对称矩阵.定义如果n方阵A=（aij）中的元素满足aij=-aji,i,j=1,2,…,n,则称A为反对称矩阵.如是一个3阶反对称矩阵.（6）线性变换的矩阵线性变换矩阵两个简单线性变换恒等变换对应一个n阶单位矩阵对

4、角变换对应一个n阶对角矩阵称为矩阵A与B的和.记作定义设有两个m×n矩阵只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.1.矩阵的线性运算(1)矩阵的加法第2.2节矩阵的基本运算(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)(iii)A+O=O+A=A(iv)A+(-A)=O其中A,B,C及零矩阵O是同型矩阵.矩阵的加法满足下列运算规律例1解（2）矩阵的数乘定义数k与矩阵A的乘积记作kA，规定为运算规律：(i)1A=A(iii)(k+h)A=kA+hB(iv)k(hA)=(kh)A(ii)k(A+

5、B)=kA+kB其中A、B为mn矩阵；k、h为数.例2解解例3矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵其中(1)定义注：①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.②乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.记作C=AB.③一个1s矩阵与一个s1矩阵的乘积是一个1阶矩阵,也就是一个数.例4解一般地：矩阵的乘法不满足交换律即AB≠BA;两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.即AB=O不能推出A=O或B=O.例5解例6设矩阵解显

6、然AO=O；矩阵乘法不满足消去律.即由AB=AC不能推出B=C.计算AO，AB.(i)(AB)C=A(BC);(ii)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(iii)k(AB)=(kA)B=A(kB),(其中k为数).矩阵的乘法不满足交换律，即当AB=BA时,称A,B可交换.(2)矩阵的乘法运算规律（假设运算都是可行的）注意例7将线性方程组解令利用矩阵乘法表示出来..则有3.矩阵的转置(1)定义把m×n矩阵A的行列互换得到一个n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT.例如(i)(AT)

7、T=A(ii)(A+B)T=AT+BT(2)运算规律（假设运算都是可行的）(iii)(kA)T=kAT(iv)(AB)T=BTAT对于多个矩阵相乘,有解(法1)(法2)例9证（）若AB=BA，有例10设A、B是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵AB=BA.AB是对称矩阵，有AB=(AB)T=BTAT=BA；（）即AB为对称矩阵.一般来说,,只有某些特殊矩阵才有可以证明：A为对称矩阵A为反对称矩阵.性质（i）（反）对称矩阵A与B的和也是（反）对称矩阵;（ii）数乘（反）对称矩阵仍为（反）对称

8、矩阵；（iii）任意矩阵均可表为对称矩阵与反对称矩阵之和.两个同阶对称矩阵的乘积未必是对称矩阵.对称阵对称阵非对称阵注两个同阶反对称矩阵的乘积未必是反对称矩阵.方阵作为行数与列数相等的一类矩阵,可以进行一般矩阵的各种运算,并满足相应的运算律.方阵的和、差、数乘、乘积及转置矩阵仍为方阵.除此之外，还可以进行其它运算，乘幂运算是其中之一4.方阵的幂定义设A是一个n阶方阵，k为正整数,称为A的k次幂.Ak就是k个A连乘.规定:A0=E.(i)AkAl=Ak+1(ii)(Ak)l=Akl其