量子力学补充2-一维势阱new

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1、一维定态问题13-4一维定态问题求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求出体系可能有的能量值和波函数。一、无限深势阱质量为m的粒子在外场中作一维运动，势能函数为：88x=0x=aV(x)定态薛定谔方程为：当x<0和x>a时，求解定态薛定谔方程令代入薛定谔方程得：此方程的通解为：由于阱壁无限高，所以由式（1）得B=0波函数为：由式（2）得于是即:由此得到粒子的能量称为本问题中能量E的本征值.势阱中的粒子其能量是量子化。当n=1,粒子具有最低能量n叫作量子数称为基态能级oaxE势阱中粒子能级图与E相对应的本征函数，即本问题的解为：式中常数Ａ可由归一化

2、条件求得。最后得到薛定谔方程的解为：得到1势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。电子(m=9.1×10-31千克)在宽为a=10Å的势阱中运动，有En=0.38n2eV,En=0.75neV,量子化明显；若a=1cm,则En=0.75×10-14eV,量子化不明显。讨论2能量为En的粒子在x-x+dx内被发现的概率一维无限深势阱中=1=2=3=4x粒子的波函数0nnnnax0a几率密度分布例题：在阱宽为a的无限深势阱中,一个粒子的状态为多次测量其能量。问

3、每次可能测到的值和相应概率？能量的平均值？解：已知无限深势阱中粒子的则多次测量能量(可能测到的值)能量的平均值概率各1/2二、方势垒的穿透隧道效应在经典力学中,若,粒子的动能为正,它只能在I区中运动。即粒子运动到势垒左边缘就被反射回去，不能穿过势垒。OIIIIII在量子力学中,无论粒子能量是大于还是小于都有一定的几率穿过势垒，也有一定的几率被反射。我们下面只就时，讨论薛定谔方程的解。势垒的势场分布写为：在三个区间内波函数应遵从的薛定谔方程分别为：OIIIIII定态薛定谔方程的解又如何呢？令：定态解的含时部分：三个区间的薛定谔方程化为：若考虑粒子是从

4、I区入射，在I区中有入射波反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III区，在III区只有透射波。粒子在　　　处的几率要大于在　　　处出现的几率。其解为：根据边界条件：时、空异号为右行波求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：IIIIII隧道效应当时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度

5、的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。Scanningtunnelingmicroscopy因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学

6、和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。空气隙STM工作示意图样品探针利用STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。它可用于不导电样品的观察。STM样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。