高等数学函数的微分教学ppt

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1、第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的计算第三节函数的微分第三节函数的微分本节主要内容:一.微分的概念二.微分的几何意义三.微分的基本公式及运算法则四.微分的近似计算一.微分的概念引例：一块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0x考查此薄片的面积A的改变情况.因为Ax2所以金属片面积的改变量为A(x0x)2(x0)22x0x(x)2A≈2x0x3定义2.3.1若函数y=f(x)的增量y可表示为y=f(x0+x)-f(x0)=Ax+(x)(x0),其中A与x无关,则

2、称y=f(x)在x0可微,且称Ax为f(x)在x0的微分，记作即yf(x)在点x0可微yAxo(x)，即dy=Ax4定理2.3.1函数y=f(x)在x0可微的充要条件是y=f(x)在x0可导．当y=f(x)在x0可微时，有通常把自变量的增量x称为自变量的微分,记做dx,则函数y=f(x)的微分可记做dy=f(x0)dx,从而有5例1求函数y=3x2在x=1处x分别为0.1和0.01的增量与微分.解:6二.微分的几何意义如图所示，PN=dx，NM=y，NT=PNtan=f(x)dx，所以dy=

3、NT，即函数y=f(x)的微分dy就是曲线y=f(x)在点P处切线的纵坐标的增量，而y就是曲线y=f(x)的纵坐标的增量.PT）MTN7三.微分的基本公式及运算法则d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2

4、x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:8微分公式:导数公式:9微分的四则运算求导法则微分法则(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdud(uv)vduudv10例2求y=x2arctanx的微分.解:11例3求函数y=lnx/x的微分.解:12(1)若u是自变量，dy=f(u)du；复合函数的微分法则结论：一阶微分形式的不变性设函数y

5、=f(u)有导数f(u).(2)若u是中间变量，可以令uj(x)，即yf[j(x)]dyyxdxf(u)j(x)dx13例4求y=sin23x的微分.解:14例5求的微分.解:15例6求的微分.解:16例7（参数方程求导法则）设参数方程中x(t),y(t)对t可导，且x(t)0,求．解:17四.微分的近似计算当函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)0且

6、Dx

7、很小时我们有Dydyf(x0)Dx若令xx0Dx即Dxxx0那么又有f(x0Dx)f(x0)dyf(x

8、0)Dxf(x0Dx)f(x0)f(x0)Dxf(x)f(x0)f(x0)Dx特别当x00时有f(x)f(0)f(0)x用来求函数增量的近似值用来求函数值的近似值求函数在x=0附近的近似值18常用近似公式19例8求的近似值．令f(x)=sinx取辅助函数找邻近于x=3030的一点x0代入公式f(x)f(x0)f(x0)x取x0=30,则x=30=f(x)=cosx,则f(x0)=cos解:20例9求的近似值．解:21内容小结一.微分的概念二.微分的几何意义三.微分的基本

9、公式及运算法则22