【培优练习】《为什么要证明》（数学北师大八上）

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1、《为什么要证明》培优练习1.大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．2.某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜-3，平-1，负-0，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，A队共积19分，请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．3.推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲

2、看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．4.有一座三层楼房不幸起火，一个消防员搭梯子爬往三楼去救一个小孩子，当他爬到梯子正中1级时，二楼窗口喷出了火，他就往下退了3级，等到火过了，他又爬了7级，这时屋顶有两块杂物掉下来，他又往下退了2级，幸好没有打中他．他又向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有1级，问这

3、个梯子共有几级？5.某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：①如果去A地，那么也必须去B地；②D、E两地至少去一处；③B、C两地只去一处；④C、D两地都去或都不去；⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去依据上述条件，你认为参观团只能去哪些地方参观？答案和解析【解析】1.解：答案：解答：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，∴5月1日～5月28日写的张数为：，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120，若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜12

4、0，若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，故5月30日可能为星期五、六、日．解析：分析：首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．2.解：答案：如果它胜7场，就21分了，不可能．如果它胜不到4场，那最多3胜9平18分，也不可能．所以它可能胜4、5、6场．按19分算，相应地平了7、4、1场．再用12场去

5、减，负了1、3、5场．解析：分析：利用胜、平所获得分数，进而分别分析得出符合题意答案．3.解：答案：甲戴的是白帽子．理由如下：因为丙说不知道，说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子（如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子）．因为乙也说不知道，说明甲戴的是白帽子（如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子）．解析：分析：如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子，如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子．4.解：答案：设消防队员向上爬的方向为正、往下退的方向为负，并设这个楼梯共有x级．

6、根据题意，我们知道这个楼梯的级数是奇数（因为只有奇数级的楼梯正中间才可以站人），列得：，整理得：，解得：，则梯子共有23级．解析：分析：先规定消防队员向上爬的方向为正、往下退的方向为负；然后根据题意列出算式计算即可．5.解：答案：由②知，D、E两地至少去一地，若去E地，则由⑤也必须去A、D地，由于①和④必须去B、C两地，但与③矛盾，所以不能去E地，因此必须去D地．由④也必须去C地，再由③知，不能去B地，从而由①知也不能去A地，故参观团只能去C、D两地．解析：分析：根据题中告诉的条件，可运用假设法进行推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾则推理正确．