ch6_ARCH模型和GARCH模型

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1、ARCH模型和GARCH模型2003年10月8日，随着瑞典皇家科学院的宣布，诺贝尔经济学奖的两位新得主诞生了，他们就是著名的计量经济学家---美国纽约大学的罗伯特.恩格尔(RobertEngle)教授和加州大学圣迭哥分校的克莱夫.格兰杰(CliveGranger)教授。他们将共享1000万克朗(约130万美元)的奖金，以表彰他们在“经济时间序列的统计方法”研究方面的卓越贡献。81RobertF.EngleCliveW.J.Granger81瑞典皇家科学院表示，这两位获奖人发明了处理许多经济时间序列的两个关键性质：时变波动性和非平稳性的新的统计方法，在时间序列

2、计量经济学研究领域所作出了突破性贡献。瑞典皇家科学院表示，罗伯特·恩格尔之所以得奖是因为他发明了一种计量方法，能够预测并分析随时间变化的股票价格、外汇汇率以及利率的波动。这就是他在1982年提出一种“自回归条件异方差模型”（简记ARCH模型）。81克莱夫.格兰杰提出的协整分析理论，我们后文介绍，这里不再展开。本节研究内容：研究随时间而变化的风险。（回忆：Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。81引子---问题的提出以前介绍的异方差属

3、于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，yt=yt-1+εt其中εt为白噪声过程，811995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。图1日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)图2日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)81图3收益绝对值序列(1995-2000)图4D(JPY)的平方(1995-2000)81这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表

4、现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。81正态分布曲线高峰厚尾分布曲线图5高峰厚尾分布特征示意图81显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有

5、或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。81§1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：条件方差或者波动率（Conditionvariance，volatility）定义为其中是信息集。812、ARCH模型的定义Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回归条件异方差）。ARCH(q)模型：（1）的无条件方差是常数，但是其条件分布为（2）8

6、1其中是信息集。方程（1）是均值方程（meanequation）ü：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditionalvarianceequation），由二项组成ü常数üARCH项：滞后的残差平方81由于εt2的非负性，对ai应有如下约束，ω>0,ai³0,i=1,2,…q当全部ai=0,i=1,2,…,q时，条件方差st2=ω。因为方差是非负的，所以要求ω>0。思考题：方程（2）给出了的条件方差，请计算的无条件方差。813、ARCH模型的平稳性条件为保证st2是一个平稳过程，(2)式的特征方程1-a1L-a2L2-

7、…-aqLq=0的根都应在单位圆之外。对ai,i=1,2,…,q的另一个约束是0£a1+a2+…+aq<181对(2)式求期望，st2=ω+a1E(εt-12)+a2E(εt-22)+…+aqE(εt-q2)=ω+a1st-12+a2st-22+…+aqst-q2当T®¥时，s2=ω+a1s2+a2s2+…+aqs2则无条件方差81可见若保证st2是一个平稳过程，应该有约束0£(a1+a2+…+aq)<1。因为Var(yt)=Var(εt)=st2，所以上式可以用来预测yt的方差。综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有1)1-a1L-a2L2-…-

8、aqLq=0的根都应在单位圆之外。2)0£a1+a2