2.3 直线,平面垂直的判定及其性质

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1、点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何本章内容2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第二章小结2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)复习与提高2.3.1直线与平面垂直的判定(第二课时)2.3.2平面与平面垂直的判定(第一课时)2.3.2平面与平面垂直的判定(第二课时)2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面垂直的判定2.3.1返回目录学习要点1.直线和平面垂直是怎样定义的?2.用直线和平面垂直的

2、判定定理证明线面垂直需要哪些条件?问题1.在你的感觉中,直线和平面垂直是怎样一种情况?你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗?你认为怎样定义直线与平面垂直恰当?如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面a互相垂直,记作l⊥a,直线l叫做平面a的垂线,平面a叫做直线l的垂面.线面垂直是线面相交的一种特殊情况,线面垂直,有且只有一个公共点,即交点,这个交点叫做线面垂直的垂足.直线与平面垂直的定义:1.直线与平面垂直的定义画直线和水平平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.画直线和竖直平面垂直,要把

3、直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.all⊥abmm⊥b问题2:已知平面a和空间任意一点P,过点P能作a的几条垂线?为什么?a·P结论:过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.如果有两条,PA⊥a,PB⊥a,只有一条.垂足分别为A,B.则PA,PB确定的平面与a相交于一直线AB.AB于是PA⊥AB,PB⊥AB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识,这显然不对.问题3.(1)请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内,另外一条直角边不在桌面内,请问这另一条直角边与桌面垂直吗?(2)用一张有

4、一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上,看折痕是否垂直桌面?有不垂直的可能吗?用定义判断线面垂直不太方便,怎样有较方便的方法判断线面垂直呢,我们先看下面的问题.ABCD当A、B、C不共线时,折痕DC垂直桌面;当A、B、C共线时,折痕DC不一定垂直桌面.2.直线与平面垂直的判定如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:labal⊥a,l⊥b,aa,ba,a∩b,⇒l⊥a.直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直.问题4.一旗杆高8m,在它的顶端系两条长10m的绳子,

5、拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上).如果这两点与旗杆脚相距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?ABCD如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,△ABC和△ABD的三边满足勾股定理,∴AB⊥BC,AB⊥BD,而BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即BC,BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.a例1.如图,已知a∥b,a⊥a.求证:b⊥a.am证明:在a内任作两相交直线m、n,∵a⊥a,ma,⇒a⊥m,a⊥n,∵b∥a,⇒b⊥m,b⊥n,又m与n相交,⇒b⊥a.结论:两平

6、行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.bnna,练习(补充).已知PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQA证明:(1)∵PQ⊥a,la.∴PQ⊥l.若l⊥PA,l⊥平面PQA.QA平面PQA,l⊥QA.练习(补充).已知PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQA证明:(2)∵PQ⊥a,la.∴PQ⊥l.若l⊥QA,l⊥平

7、面PQA.PA平面PQA,l⊥PA.练习(补充).已知PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQAQ为垂线段PQ的垂足.A为斜线段PA的斜足.QA为斜线PA在平面a上的射影.有三条线:①平面的斜线,②斜线在平面上的射影,③平面内的一条直线l.结论:如果l⊥斜线,则l⊥射影;如果l⊥射影,则l⊥斜线.(三垂线定理)探究题.如图,直四棱柱ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD满足什么条件时,AC⊥B

8、D?ABCDABCD分析:由题中定义知,侧棱AA⊥平面ABCD,从而AA⊥BD.又要使AC⊥BD,则需BD⊥平面AAC.所以需在平面AAC内另找一条直线容易考虑的是AC是否满足?要使AC⊥BD,四边形A