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《线性代数 张翠莲 第5章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第5章相似矩阵与二次型5.1向量的内积、正交化方法5.2方阵的特征值与特征向量5.3相似矩阵5.4实对称矩阵的相似矩阵5.5二次型及其矩阵表示5.6二次型的标准形5.7正定二次型5.1向量的内积、正交化方法5.1.1向量的内积定义1设有维向量称为向量与的内积向量的内积具有下列性质令5.1.2向量的长度定义2设令称为向量的长度（或范数）向量的长度具有下列性质性质1非负性:当时,;当时,性质2齐次性:（为实数）性质3三角不等式当时,可以证明称为维向量与的夹角当时,称向量与显然,零向量与任何向量都正交.正
2、交5.3.3正交向量组定义3一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组,记作正交向量组有下列性质性质1若是正交向量组,则线性无关性质2设为单位正交向量组,为同维数的任一向量,若存在数,使则例已知两个3维向量正交,求一个非零向量使两两正交.解记,则应满足齐次线性方程组,即因为所以同解方程组为,通解为一基础解系为,取即可5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程)设为一线性无关向量组（1）正交化取依次类推,一般的,有可以证明,两两正交,且与等价（2）
3、单位化令则为单位正交向量组,且等价例已知,求一组非零向量,使两两正交．解应该满足即其同解方程组为它的通解为一基础解系为把基础解系正交化，即为所求．取于是得即为所求.阶矩阵5.1.5正交矩阵定义4如果满足,那么称为正交矩阵，简称正交阵．例如都是正交矩阵．为正交阵，那么正交矩阵有下列性质：性质1若是可逆阵,且或－１;为正交阵，那么性质2若是正交阵;为正交阵性质3性质4若为同阶正交矩阵,则也是正交矩阵．的特征值，非零列向量称为方阵5.2方阵的特征值与特征向量5.2.1方阵的特征值与特征向量定义5设是一个阶
4、方阵,如果存在数及维非零列向量使得,那么,这样的数称为方阵的对应于(或属于)特征值的特征向量．是方阵的特征值,是对应的特征向量(此为个未知数个方程的齐次线性方程组)是方阵的特征值是对应于的特征向量是齐次线性方程组的非零解(右式称为的特征多项式,记为,称为特征方程)(设)5.2.2求方阵的特征值与特征向量的步骤计算的特征多项式求出特征方程的所有根（重根按重数计算）：对每个特征值,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系为对应于的全部特征向量.不全为零)则例求矩阵的特征值与特征向量解所以的特征值为对于特征
5、值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为．所以对应于的全部特征向量为．对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为所以对应于的全部特征向量为例求矩阵的特征值与特征向量．解所以有2重特征值，有单特征值对于特征值，解方程，得同解方程组故得通解所以对应于特征值的全部特征向量为由对于特征值，解方程得同解方程组故得通解对应于特征值的全部特征向量为重特征值算作阶方阵是可逆方阵5.2.2特征值的性质性质1若的全部特征值为（个特征值）则：性质2设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应向量,且则特征
6、向量;是方阵性质3设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应特征向量;向量,则是一个正整数,是方阵性质4设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应特征向量;向量,若则的特征值都不为零，知可逆，故例设3阶矩阵的特征值为,求．解因为.而所以把上式记作，则故的特征值为：于是的互不相同的特征值，5.2.3特征向量的性质是方阵性质1设的一个特征值，为对应的特征向量,若又有数，则．性质2设是方阵是对应于的特征向量,则向量组即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关．线性无关．的相似矩阵，或称方阵5
7、.3相似矩阵定义6设都是阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称是与相似，记作．，有，从而．即．如5.3.1相似矩阵的概念的对应于与的某个特征值，若是5.3.2相似矩阵的性质性质1（因为性质2若则性质3若则性质4相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征值都相同；性质5设是是的特征向量，则的对应于的特征向量．（3）可以证明，对应于的每一个重特征值若正好有个线性无关的特征向量,即则必有个线性无关的特征向量，从而一定可以对角化．定理1阶方阵与对角矩阵相似（即能对角化）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．推论（
8、能对角化的充分条件）如果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角矩阵相似．注意（1）推论的逆命题未必成立．（2）当有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．5.3.3矩阵的相似对角化的特征多项式为例判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化．解（1）的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以可以对角化．对，解方程．,由于同解方程组为通解为一基础解系为对，解方程,由于同解方程组为通解为一基础解系为令则因此,的特征值为1，1，3．的特征
