logistic增长曲线

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1、第二次作业学号：11001020138姓名;张彦强第二题：解：（1）对两边同时取倒数得：，再对两边同时取对数得：，令，，.即可得到一个线性关系式：因此Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型。给定L-3000，Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型。用MATLABR2012a估计线性模型的的程序为：x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.892737.71];L=3000;z=log(L./y-1);p=polyfit(t,z,1)k=-p(1),a=

2、exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);得到结果为：因此a的估计值为44.8463，k的估计值为0.4941（2）用MATLABR2012a对Logistic增长模型做非线性回归MATLABR2012a程序如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];t=0:12;L=3000;y1=log(L./y-1);p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2));y1=L./(1+a*e

3、xp(-k*t));plot(t,y,'*',t,y1);拟合Logistic增长模型，画出的拟合图形如图所示：因此Logistic增长模型的非线性方程为（3）拟合Gompertz增长模型Gompertz增长曲线模型为两边同时除以L得.两边同时取对数得.再两边同时取对数得.令，，.得线性关系式.用MATLAB2012Ra拟合Gompertz增长模型，MATLAB2012Ra程序如下：x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];t=0:1

4、2;L=3000;y1=log(log(x/L));a=polyfit(t,y1,1);b=-exp(a(2));k=-a(1);y2=L*exp(-b*exp(-k*t));plot(t,x,'*',t,y2);得到Gompertz增长模型的拟合曲线如下图所示：当L=3000，b=30，k=0.4时，拟合的Gompertz增长曲线方程为Gompertz增长曲线与Logistic增长曲线相比较，两模型相同之处：Logistic增长曲线模型，俗称“S曲线”，主要目的是模拟人口的增长。其一般形式为.Logistic增长曲线有个重要特征。就是y随着t的增加直至+∞而趋向于

5、k，k即是y的饱和值；反过来，当t→-∞时，y→0。在现实经济生活中，许多指标的增长过程具有这个特征。例如，一种新产品、新技术的普及率，一种耐用品的存量，它们的增长过程都遵循Logistic增长曲线模型。所以，Logistic增长曲线模型在经济预测中有广泛的应用，是一种重要的预测模型。Gompertz曲线用于描述这样一类现象：初期增长缓慢，后期逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最终接近一条水平线。Gompertz曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的周期过程。在现实生活中有许多现象符合Gompertz曲线形式，如工业生产的增长、产品的寿命周期和一

6、定时期的人口增长等。可见Gompertz增长曲线与Logistic增长曲线相似。