自动控制原理 李明富及答案 第五章频率法分析 5.5

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1、第五节奈魁斯特稳定判据8/17/20211主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。8/17/20212一、幅角定理：设负反馈系统的开环传递函数为：，其中：为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：令：则开环传递函数为：……………(a)闭环传递函数为：……………(b)8/17/20213显然，辅助方程即是闭环

2、特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：……………..(c)8/17/20214F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面上的映射。同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可在F(s)平

3、面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。[例]辅助方程为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：8/17/20215同样我们还可以发现以下事实：s平面上曲线映射到F(s)平面的曲线为，如下图：示意图曲线是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线包围原点，且逆时针运动。再进一步试探，发现：若顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则不包围原点顺时针运动；若顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则包围原点且顺时针运动。这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅

4、角定理。8/17/20216[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。若N为正，表示顺时针运动，包围原点；若N为0，表示顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示逆时针运动，包围原点。8/17/20217二、奈魁斯特稳定判据：对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的

5、零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。8/17/20218这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性相联系？它可分

6、为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；；Ⅲ部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：ⅠⅡⅢ8/17/20219F(s)平面上的映射是这样得到的：以代入F(s)并令从变化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出。当时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程

7、与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：8/17/202110②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲

8、线第Ⅱ部分）8/17/202111F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢ8/17/202112根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封