初三圆的经典例题新

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1、有关圆的经典例题1.解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°例2.如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，（1）求证：△ABC是直角三角形；解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E又∵AD=DC∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。（2）解：连结AE∵DE是⊙O的直径∴∠

2、DAE=90°而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA9例3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，∵在△AFB中，有AF+FB>AB∴选A。解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE在△CDE中，有CD+DE>CE∴2CD>CE∵AB=2CD，∴AB>CE∴选A。例4.求CD的长。9解：延长AB、DC交于E点，连结BD∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD

3、例5.于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，下面对满足条件PC=PF进行证明，连结OC，则∠OCA=∠FAH，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。即AD2=DE·DF9例6.D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O

4、于点B和点C，∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，21．（8分）（2015•东营）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC•AD=AB•AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．解答： （1）证明：连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，∵∠DAE=∠BAC，∴△AD

5、E∽△ABC，∴=，∴AC•AD=AB•AE；（2）解：连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．23．（7分）（2015•济南）（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF；（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数． 9解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵BF=CE，∴BE=CF，在△ABE和△DCF中 ∴△ABE≌△DCF，∴AE

6、=DF；（2）解：∵∠BOD=160°，∴∠BAD= ∠BOD=80°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=100°．（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；解答： （1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF

7、，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．23．（9分）（2015•临沂）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BA