复变函数与积分变换(I)

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1、第三节泰勒级数一、泰勒定理二、将函数展开成泰勒级数三、典型例题四、小结与思考1一、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当2说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)3因为　　解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？4那末即因此,

2、任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.5二、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数6例如，故有7仿照上例,82.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.9例如，10附:常见函数的泰勒展开式1112例1解三、典型例题13上式两边逐项求导,14例2分析如图,15

3、即将展开式两端沿C逐项积分,得解16例3解17例4解18例5解19例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:2021五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.22奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题23奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.24泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,Engla

4、ndDied:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor25