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《多元函数微分法及其应用习题(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章多元函数微分法及其 应用习题课一、内容回顾1、偏导数的定义与计算求函数的偏导数时，只要把暂时看作常量而对求导数；类似地，可求函数的偏导数。2、多元复合函数求导法则zuvtzuvxy(1)设和在点可导，在对应点处可微，则复合函数在点处可导，且(2)设和存在偏导数，在对应点处可微，则复合函数在偏导数存在,且3、隐函数的导数①由方程确定的一元函数，则有：②由方程确定二元函数，则有：（2）.由四个变量两个方程所构成的方程组,如确定隐函数两个二元函数方程组（1）.由三个变量两个方程所构成的方程组,如确定
2、隐函数两个一元函数方程组.,,,yvxvyuxu¶¶¶¶¶¶¶¶求③由方程组所确定的隐函数4、多元函数微分学在几何上的应用4.1空间曲线的切线与法平面切线方程：法平面方程：(1),则在点处切线方程：法平面方程：切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式，求出即可.(3),则在点处(2),则在点处4.2曲面的切平面与法线切平面方程：法线方程：切平面方程：法线方程：(2),则在点处(1),则在点处5.方向导数与梯度二元函数在点沿方向的方向导数为计算公式:其中是方向的方向余弦。其中为x轴到方向的转角．函数
3、在点处的梯度为一向量:6.无条件极值求法步骤：①求,得全部驻点.②求,,③由判别驻点为极值点的条件，验证的符号,确定极值点，求出极值。7.条件极值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘数法)③求出极值。①构造辅助函数②求解得出,就是可能的极值点.函数在条件下的可能极值点:二、典型例题解：例1、求函数的偏导数.分析：因为函数为三元函数，所以，应分别求对的偏导数。解：根据复合函数求偏导法则得例2、设,而,,求和.例3、设,其中具有二阶连续偏导数，求解：设,则利用隐函数的求导公式得解:令,则例4、设,求.
4、分析：如果令,则由方程确定了是的函数,求用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。计算时，我们采用在方程两边同时对求偏导的方法,并视为的二元函数,得例5、求曲线在点处的切线及法平面方程。分析：此曲线为参数方程,只需求出切向量为再求出切点，即可得切线及法平面方程。解：因故在点处的切向量为所求切线方程为：法平面方程为：即解：将所给方程的两边同时对求导得例6、求曲线在点处的切线及法平面方程.分析：此曲线由方程组的形式给出,也可视为参数方程,视为参数，则切向量为,利用直接求导法对方程组求导,解
5、方程组,求出切向量,即可得切线及法平面方程。因此所求切线方程为法平面方程为即则曲线在点处的切向量为解得故切平面方程为即法线方程为例7、求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.分析：此曲面可看成的形式,只需求出法向量,即可求出切平面及法线方程.解：设,则解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为所以方向导数的最大值为例8、问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。解：解方程组得驻点又所以故例9、求函数的极值.因此在点处取得最小值,且为求解所以，函数的极大值为得为唯一驻点.例10、求函数在适
6、合附加条件下的极大值.分析：求函数在适合附加条件下的极大值,为条件极值，用拉格朗日乘数法。解：构造辅助函数
