多元函数的极限与连续、偏导数

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1、莫兴德广西大学数信学院Email:moxingde@gxu.edu.cn微积分链接目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习参考书[1]赵树嫄.微积分.中国人民出版社[2]同济大学.高等数学.高等教育出版社第八章多元函数空间解析几何简介多元函数的概念二元函数的极限与连续偏导数全微分复合函数的微分法隐函数的微分法二元函数的极值二重积分8-3二元函数的极限与连续8-4偏导数1、多元函数的极限用平面上(x0,y0),(x,y)的

2、距离（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的.（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。说明：证当时，原结论成立．例2求证例3求极限解其中例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：2、二元函数的连续性例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取当时故函数在(0,0)处连续.例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上

3、连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质3、小

4、结思考题不能.例取原因为若取思考题解答练习题二.求下列各极限:练习题答案偏导数我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。一、偏导数的定义及其计算法如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函

5、数，它就称为函数对自变量的偏导数。记为：同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数记为：偏导数的求法求时把y视为常数而对x求导求时把x视为常数而对y求导这仍然是一元函数求导问题偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地设解证原结论成立．解不存在．证有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求计算fx(x0,y0)时可先将y=y0代入f(x,y)再对x求导,然后代入x=x0计算fy(x0,y0)时同理解3、4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。5、若f(x,

6、y)=f(y,x)则称f(x,y)关于x,y具有轮换对称性在求时只需将所求的中的x,y互换即可6、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.7、偏导数的几何意义如图几何意义:二、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形解问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？解三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算

7、、偏导数的几何意义高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的条件）思考题思考题解答不能.例如,练习题练习题答案