多元线性回归模型的参数估计(II)

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1、第三章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型多元线性回归模型多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测回归模型的其他形式§3.1多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定一、多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：i=1,2…,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数（regressioncoefficient）。也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的非随机表达式为:表示：各变量X值固定时Y的平均响应。习惯上：把常数项看成为

2、一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是：模型中解释变量的数目为（k+1）总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为:其中j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。用来估计总体回归函数的样本回归函数为：其随机表示式:ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:或其中：二、多元线性回归模型的基本假定假设1，解释变量是非随

3、机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性。假设3，解释变量与随机项不相关假设4，随机项满足正态分布上述假设的矩阵符号表示式：假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，假设4，向量有一多维正态分布，即同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n∞时，假设3，E(X’)=0，即其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵假设6，回归模型的设

4、定是正确的。或§3.2多元线性回归模型的估计一、普通最小二乘估计*二、最大或然估计*三、矩估计四、参数估计量的性质五、样本容量问题六、估计实例说明估计方法：3大类方法：OLS、ML或者MM在经典模型中多应用OLS在非经典模型中多应用ML或者MM在本节中，MM为选学内容一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：i=1,2…n根据最小二乘原理，参数估计值应该是右列方程组的解其中于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值$,

5、,,,,bjj=012L。k□正规方程组的矩阵形式即由于X’X满秩，故有将上述过程用矩阵表示如下：即求解方程组：得到：于是：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，可求得：于是：⃟正规方程组的另一种写法对于正规方程组于是或(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法。(*)(**)⃟随机误差项的方差的无偏估计可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为：二、最大或然估计对于多元线性回归模型易知Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率对数或然函数为对对数或然函数求极大值，也就是对求极小值。即为变量Y的或然函数因

6、此，参数的最大或然估计为结果与参数的普通最小二乘估计相同*三、矩估计（MomentMethod,MM）OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组并对它进行求解而完成的。该正规方程组可以从另外一种思路来导:求期望:称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。由此得到正规方程组解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。矩方法是工具变量方法(InstrumentalVariables,IV)和广义矩估计方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基础。在

7、矩方法中利用了关键是E(X’)=0如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。四、参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量2、无偏性这里利用了假设:E(X’)=03、有效性（最小

8、方差性）其中利用了和样本是一个重要的实际问题。模型依赖于实际样本。获取样本需要成本，企图通过样本容量的确定减轻收集数据的困难。1、最小样本容量2、满足基本要求的样本容量五、样本容量问题所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原