定积分的分部积分法

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1、第六章定积分第一节定积分的概念第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法第四节定积分的分部积分法第五节广义积分第一节定积分的概念一、定积分问题举例1．曲边梯形的面积图6-1所围成的平面图形称为曲边梯形,如图6-1.求其面积的四个步骤：(1)分割任取分点把底边分成个小区间.(2)取近似(3)求和(4)取极限要计算这段时间内所走的路程．(3)求和二定积分的定义2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动，上的连续函数，(1)分割任取分点,(2)取近似(4)取极限设函数上有定义,任取分点=1,2,…,n），记…,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：上述和式的极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分

2、，（此时，也称）记为根据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：曲边梯形的面积变速运动路程三定积分的几何意义图形在轴之上，积分值为正，有图形在轴下方，积分值为负，即则积分值就等于曲线在轴上方的部分与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有图6－2四定积分的性质性质1性质2性质3性质4性质5则性质6则至少存在一点使得例估计定积分的值．解先求在[－1，1]上的最大值和最小值．得驻点在驻点及区间端点处的函数值，故最大值最小值由估值定理得，习题6-11．利用定积分的几何意义，说明：2．利用定积分的几何意义，求下列定积分．3．利用定积分估值定理，估值定积分的值．第二节微积分基本公式一、变上限的定积

3、分通常称函数Φ为变上限积分函数或变上限积分．定理1如果函数则变上限积分推论连续函数的原函数一定存在．例1计算解因为故例2求下列函数的导数：解⑴⑵设例3求解二、牛顿——莱布尼茨公式定理2设函数则有上式称为牛顿——莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．为方便起见，常记作例4求定积分解1习题6-21．计算2．计算下列各定积分第三节定积分的换元法例1求解法1于是解法2设于是一般地，定积分换元法可叙述如下：,且当例1求于是例2求于是,例3求于是例4求由定积分换元法，得于是于是例6求例7证明证比较两边被积函数，可以看出，于是习题6-31．计算下列定积分2．利用函数的奇偶性计算下列定积分：3．证明第四节定

4、积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法．例1例2求例3求这样依次进行下去．当n为奇数时，当n为偶数时，这个公式称为递推公式．例4求习题6-4计算下列定积分第五节广义积分一、无究区间上的广义积分定义1设函数我们把极限上的广义积分，记为若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，则称发散．类似地，可以定义在上的广义积分为上的广义积分定义为其中c为任意常数，当右边的两个广义积分都收敛时，广义积分才是收敛的，否则是发散的．例1计算广义积分解例2讨论的敛散性．解所以发散．例3计算广义积分解例4讨论的敛散性.解⑴当p＞1时，（收敛）；⑵当p＝1时（发散）；⑶当p＜1时，（发散），综上，二、无界函数的广

5、义积分取ξ＞0，称极限的广义积分，记为若该极限存在，则称广义积分收敛；若极限不存在，则称发散．类似地，当的无穷间断点时，即上的广义积分定义为：当无穷间断点位于区间内部时，则定义广义积分为：上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收敛时，才称是收敛的，否则，称是发散的．上述无界函数的积分也称瑕积分．例5求广义积分解因为被积函数的无穷间断点，于是例6证明广义积分当p＜1时收敛，当p≥1时发散．证⑴p＜1时，（收敛）；⑵当p＞1时，（发散）；⑶当p＝1时，（发散）．因此，当p＜1时，此广义积分收敛，其值为当p≥1时，广义积分发散．复习题六一、填空题的极小值为＿＿＿．的取值范围为＿＿＿;二

6、、单项选择题为连续函数，则积分A．与，s，t有关;B．与t，C．与s，t有关;D．仅与有关.A＞0;B≥0;C＜0;D≤0.A．充分条件;B．必要条件;C．充分必要条件;D．无关条件.为连续函数，则下列各式正确的是（）A．＜2;B．＜1;C．＞1;D．＞2.A．0;B．2;C．1;D．－1.A．0;B．1;C．2;D．3.A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．无关条件.11．下列广义积分收敛的是（）．.A．0;三、计算题