定积分的换元法储宝增高数

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1、二、定积分的分部积分法第三节不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法第五章定理1则有定积分换元公式假设函数一、定积分的换元法函数满足条件:(1)(2)具有连续导数,且其值域definiteintegralbysubstitution;)(,)(ba==bjaj)(txj=证故有则由于N--L公式N--L公式则所以存在原函数原函数,注由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法:可用N--L公式;从换元的观点.(1)换元公式仍成立;(2)在定

2、积分换元公式中,改变,(3)例1.计算解:令则∴原式=且例2.计算解设，则，于是.例3.计算解例4.计算解:令则∴原式=且例5.已知连续，求.解令，则有且当从而.于是有两边对x求导，得即在上式中，令得，即.例5续例6.证:(1)若(2)若偶倍奇零例7.计算解原式.可得:由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有则则òò--+=aaaxxfxfxxf0d)]()([d)(由例证(1)三角函数的定积分公式例由此计算设证毕.ò20d)(sinpxxfòúûùêëé÷øöçèæ--=ttfd2si

3、np设证由此计算ò---=ttftd)][sin()(pp周期函数的定积分公式这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.(留给同学证)定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法定理2.则证:例9.计算解令则当时，；当时，于是例10.计算解例11.计算解原式.例12.证明证:令n为偶数n为奇数则令则由此得递推公式于是而故所证结论成立.例为正偶数为大于1的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用.注==òòxxxxdcosdsin207207pp109例解用公式n为正偶数定积分的换元法和分部积分法ttx

4、dcos2d=ttdcos2×练习解用定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法解则是奇函数,是偶函数,周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.定积分的换元法和分部积分法练习n为正偶数xxxeed)tan1(sin)2(24+ò+p计算xxxed)tan1(sin24++ò+pxxxeed)tan1(sin4+=ò+p定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法三、小结定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式思考与练习1.提示:令则2.设解法1解法2对已知等式两边

5、求导,思考:若改题为提示:两边求导,得得3.设求解:(分部积分)备用题1.证明证：是以为周期的函数.是以为周期的周期函数.解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端