定积分的概念与性质(I)

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1、第一节定积分的概念与性质内容提要1.定积分的概念；2.定积分的几何意义;3.定积分的性质。教学要求1.理解定积分的概念；2.掌握定积分的几何意义;3.掌握定积分的性质,会利用估值,比较大小。1.求曲边梯形的面积一、定积分问题的两个实例曲边梯形：它有三条边是直线段，其中两条边互相平行，第三条边与前两条垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边.曲边梯形是一个矩形，abxyo面积=底×高用矩形面积近似取代曲边梯形面积而现在是一条曲线，所以，不能用初等数学的方法解决.曲线上的高度是变化的，显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形

2、）abxyoabxyo因此,我们用极限求曲边梯形面积.具体步骤如下：第一步分割第二步求近似得曲边梯形面积A的近似值为第三步求和第四步取极限即2.求变速直线运动的路程不能按此计算路程.在很短的一段时间内，因此，在时间间隔很短的条件下，可用匀速代替变速.与求曲边梯形面积的方法一样，由如下四步求路程.第一步分割第三步求和第四步取极限个分点，内任意插入在区间第二步求近似上的路程上某时刻的速度二、定积分的概念定义作和被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和注意1.：是一个确定的常数.定积分号(4)注意2.对定积分的补充规定:定理1定理3闭区间上的有界单调函数

3、可积.定理2第一类间断点,注意3.定积分的存在性注意4.初等函数在定义区间内部都是可积的.曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值abxyoabxyo三.定积分的几何意义的几何意义：即解根据定积分的几何意义，证明由定积分定义,f(x)=A是常数,积分和式oyxabA例3利用定义计算定积分解例4利用定义计算定积分解oyx1例5利用定积分的几何意义求下列的定积分(1)(2)(3)(1)解(2)(3)(4)(4)证性质1被积函数的常数因子可以提到积分号外，即三、定积分的性质性质2两个函数和（差）的定积分等于各个函数定积分的和（差），即证（此性质可以推广到有限多个函数作

4、和的情况）由性质1,2可得定积分的线性性质，即补充：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3abxyoc假设证首先，因为定积分存在，而定积分与分法无关，设c为一分点。于是[a,b]上的积分，可认为是[a,c],[c,b]上的积分之和，即对上式两边取极限即得证性质4oyxab如果在区间[a,b]上则性质5证oyxab如果在区间[a,b]上则证性质6证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质7abxyomM则证由闭区间上连续函数的介值定理知性质8（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：底边，为曲边

5、的曲边梯形的面积的一个矩形的面积。例6已知，计算解因为所以解例7由定积分的估值定理得所以有∴又因为例8比较下列各对定积分的大小：解(1)(2)(2)于是练习解例9由定积分表示如图中阴影部分的面积解例10小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．2.注意:3．定积分的几何意义4.定积分的性质利用定积分的性质(1)估计积分值；(2)不计算定积分比较积分大小;(3)计算定积分.作业:P125-1261,2,3,4，5，6，7估计定积分解由定积分的估值定理得∴即