定积分第五节定积分的应用

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1、第五节定积分的应用本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，更重要的在于介绍运用元素分析法解决问题的定积分的方法。第一定积分的元素法一问题的提出二定积分的元素法考虑曲边梯形面积计算问题abxyo一问题的提出(Introduction)面积表示为定积分要通过如下步骤：2）（计算iAD的近似值（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值.（1）把区间],[ba分成n个长度为ixD的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄曲边梯形的面积为iAD，则å=D=niiAA1;要

2、想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式这就是定积分的元素法.两式，我们发现一个事实，即左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让比较元素法的一般步骤:2）在],[ba中任取一小区间并记为],[dxxx+，求出相应于这小区间的部分量UD的近似值.如果能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(=；二定积分的元素法（ElementMethod）这个方法通常叫做元素法．常见应用方向有：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力等．一、平面图形的面积二

3、、体积第二定积分在几何学上的应用三、平面曲线的弧长dS=[f上(x)f下(x)]dx,它也就是面积元素.一、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成.因此平面图形的面积为在点x处面积增量的近似值为1.直角坐标情形讨论：由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素为[j右(y)j左(y)]dy,:)(3确定上下曲线2)(,)(xxfxxf==下上.例1计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.解(2)确

4、定在x轴上的投影区间:(4)计算积分[0,1];(1)画图;31]3132[10323=-=xx.例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的投影区间:(4)计算积分(3)确定左右曲线:[-2,4].解(1)画图;4)(,21)(2+==yyyy右左jj.43-]18621-y14[22=+=yy解：例3求由曲线所围成的面积与x2y28(两部分都要计算)曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线()及射线,所围成的图形.曲边扇形的面积2.极坐标情形qqjddS2)]([21=.例4计算阿基米德螺线

5、a(a>0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解.曲边扇形的面积：例5计算心形线2a(2cos)(a>0)所围成的图形的面积.解.曲边扇形的面积：旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.二、体积1.旋转体的体积旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积于是体积元素为dV[f(x)]2dx.例6把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转计算

6、所得旋转体的体积旋转体的体积：解：所得旋转体的体积为解旋转椭球体可以看作是由半个椭圆22xaaby-=及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为旋转体的体积：旋转体(旋转椭球体)的体积.例7计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的1+2222=byaxaaxxaab--=]31[3222p234abp=.例8由yx3x2y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积解：绕x轴旋转所得旋转体的体积为绕y轴旋转所得旋转体的体积为解设立体在x轴上的投影区间为[a,b],立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).立体的体积元素为

7、立体的体积为2.平行截面面积为已知的立体的体积A(x)dx.A(x)截面面积为A(x)的立体体积：例10一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体的体积.建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2.所求立体的体积为解atan)(21)(22xRxA-=.RRxxR--=]31[tan2132aatan323R=.立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形,其面积为三、平面曲线的弧长设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,其中f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.直角坐标情

8、形弧长元素(弧微分):因此所求弧长解：曲线yf(x