导数的应用-函数的最大值与最小值(I)

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1、经检验,a=1,b=1时,f(x)满足题设的两个条件。例1已知,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件:(1)f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;(2)f(x)的最小值是1,若存在,求出,若不存在,说明理由。解:设g(x)=∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.∴∴解得例3在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?由题意可

2、知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16000是最大值答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3解法一:设箱底边长为xcm,则箱高cm,得箱子容积令=0,解得x=0(舍去),x=40,并求得V(40)=16000解法二:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积由题意可知,当x过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处.事实上,可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省

3、解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?S=2πRh+2πR2由V=πR2h,得,则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得,R=,从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值答:产量为84时,利润L最大。例5已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时,利润L最大?分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.解:

4、收入利润令,即,求得唯一的极值点课堂练习1.下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=,在[-1,1]上的最小值为()A.0B.-2C.-1D.DAA4.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是___________.5.将正数a分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成______和___.6.在半

5、径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大。R-15

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