导数的运算法则及复合函数的导数(I)

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1、第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数【课标要求】1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.【核心扫描】1.对导数四则运算法则的考查.(重点)2.复合函数的考查常在解答题中出现.(重点)自学导引1.导数运算法则法则语言叙述[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)f′(x)·g(x)+两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第二个函数的导数两个函数的商的导数,

2、等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数,再除以分母的平方f(x)·g′(x)[f(x)·g(x)]′=2.复合函数的求导法则复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成,那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作.复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=,即y对x的导数等于.x的函数y=f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积想一想:若复合函数y=f(g

3、(x))由函数y=f(u),u=g(x)复合而成,则函数y=f(u),u=g(x)的定义域、值域满足什么关系?提示在复合函数中,内层函数u=g(x)的值域必须是外层函数y=f(u)的定义域的子集.2.复合函数求导对于复合函数的求导法则,需注意以下几点:(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当选定中间变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要特别注意的是中间变量的系数.如(sin2x)′=2cos2x,而(sin2x)′≠cos2x.法二y′=[(x+1)(x+2)(

4、x+3)]′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11.解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,一般综合了和、差、积、商几种运算,在求导之前一般应先将函数化简,然后求导,以减少运算量.应用复合函数的求导法则求导,应注意以下几个方面

5、:(1)中间变量的选取应是基本函数结构.(2)正确分析函数的复合层次,并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导.(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导.(4)善于把一部分表达式作为一个整体.(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,就不必再写中间步骤.题型三 求导法则的应用【例3】求过点(1,-1)与曲线f(x)=x3-2x相切的直线方程.【题后反思】点(1,-1)虽然在曲线上,但是经过该点的切线不一定只有一条,即该点有可能是切点,也可能是切线与曲线的交点,解题时注意不要失解.【变式3】若

6、将本例改为求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程,结果会怎样?解∵点A(1,-1)在曲线上,点A是切点,∴在A处的切线方程为x-y-2=0.方法技巧 数形结合思想在导数中的应用数形结合的原则:(1)等价性原则:在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明.(2)双向性原则:在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析或

7、仅对几何问题进行代数分析,在许多时候是很难完成的.(3)简单性原则:找到解题思路之后,至于用几何方法还是采用代数方法,则取决于哪种方法更为简单有效,“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果.

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