常微分方程初值问题解法

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1、第7章常微分方程初值问题数值解法7.1引言1本章研究的问题:27.1欧拉方法及改进的欧拉法7.1.1欧拉公式图7.1欧拉折线法31欧拉公式(2)(3)452欧拉公式的截断误差(4)63单步法的局部截断误差与阶局部截断误差可以理解为计算一步的误差.7则称该方法具有P阶精度.84后退的欧拉方法(5)9(6)(6)式称为后退的欧拉方法,它是隐式的,欧拉公式(2)是显式的,10(7)1112后退的欧拉方法的局部截断误差:135梯形方法(8)式称为梯形方法.(8)14梯形方法的局部截断误差:156.改进欧拉法及局部截断误差预测步校正步或者写成（1）改进的欧拉公式:16（

2、2）改进的欧拉方法的局部截断误差17考虑改进Euler法如果将其改成----------(1)7.2Runge-Kutta法18改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成梯形公式具有2阶精度(1)式为一种二阶Runge-Kutta法同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度。19Runge-Kutta方法的推导20Runge-Kutta方法的一般形式：确定了阶数之后，再通过Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数：21二阶显式Runge-Kutta方法22232425例26结果及比较27三阶显式Runge-Kutta方法在推导二阶显式方

3、法的过程中，注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式：因此若要在局部截断误差中消去h3项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到r=2时，只有等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在。故：r=2时Runge-Kutta方法只能是二阶的。要得到三阶的方法，则必须有r=3。28三阶显式Runge-Kutta方法29四阶显式Runge-Kutta方法30x四阶二阶真解四阶误差二阶误差0.01.0000001.0000001.0000000.00000.0000000.11.1048291.1024501.1048291.60E-72.3

4、8E-30.21.2185971.2115071.2185973.40E-77.09E-30.31.3401411.3257661.3401415.48E-71.44E-20.41.4681751.4436711.4681757.69E-72.45E-20.51.6012781.5635061.6012799.95E-73.78E-20.61.7378801.6833741.7378811.20E-65.45E-20.71.8762461.8011791.8762471.42E-67.51E-20.82.0144571.9146032.0144591.68E-

5、69.99E-20.92.1503952.0210862.1503971.96E-61.29E-11.02.2817162.1178002.2817182.32E-61.64E-1例31结果及比较32关于Runge-Kutta方法33提高Runge-Kutta方法的精度的方法提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。34变步长的Runge-Kutta方法作为妥协，如果能在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。七阶、八阶RKF7(8)35单步法36