常系数齐次线形微分方程

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1、二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数非齐线性方程常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程解法n阶常系数齐次线性微分方程解法一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式:二阶常系数齐次线性方程的标准形式:二阶常系数非齐次线性方程的标准形式:二、二阶常系数齐次线性方程解法----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根（1）有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为（2）有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为（3）有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解

2、为特征根为二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程(2)求出特征方程的两个根(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解小结定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1例2求的特解解：特征方程通解代入代入特解解特征方程为解得故所求通解为例3三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为根据特征方程的根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解注意n次代数方程有n个根

3、,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广目录上页下页返回结束例6.解:特征方程:即其根为方程通解:机动目录上页下页返回结束例7.解:特征方程:特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束例8求的通解解：通解（三重根）例9求的通解解：（单根）（三重根）四个线性无关的特解通解特征根为故所求通解为解特征方程为例10例11解例12解该方程叫做无阻尼自由振动的微分方程.由

4、牛顿第二定律得这是简谐振动方程．函数图形为例13解这就是要找满足有阻尼的自由振动方程方程的通解为令上式又可以写成因此所求特解为函数图形为方程的通解为方程的通解为解例这是一个非线性微分方程，思考题求微分方程的通解.思考题解答令则特征根通解