幂级数与Taylor级数小结

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1、Chapter7(7)幂级数与Taylor级数小结一.内容小结(一)幂级数1.定义2.阿贝尔(Abel)定理:3.幂级数的收敛半径与收敛域正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域为一个区间:规定4.收敛半径与收敛域的求法(1)标准幂级数注意:若缺项,则用比值法.(2)一般幂级数方法1.(2)由标准幂级数收敛半径的求法可得：端点情况另讨论.方法2.(用比值法讨论)5.幂级数的性质加减法乘法(其中除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)连续性可导性(收敛半径不变)可积性(收敛半径不变)(二)Taylor级数1.定义函数f(x)的幂级数展开式是唯一的.2.展开的

2、方法直接展开法间接展开法利用已知的函数的展开式，根据幂级数展开式的唯一性，通过适当的变量替换、四则运算、复合及微分、积分等将一个函数展开成幂级数。常用的展开式有：(三)Fourier级数1.基本概念定义1.定义2.定义3.为f(x)的Fourier系数.具有Fourier系数的三角级数:2.收敛定理3.奇偶函数的Fourier级数4.在任意区间[l,l]上的Fourier级数设f(x)是以2l为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件,则有则有5.在[0,]或[0,l]上的非周期函数的Fourier级数首先补充函数在[,0]或[l,0]上的定义，使其在整个[,

3、]或[l,l]上为奇或偶函数，再作周期延拓。可分别展为正弦级数或余弦级数。二.题型小结1.求幂级数的收敛半径与收敛域Example1.Solution.收敛.绝对收敛.Example2.Solution.发散.发散.Example3.Solution.方法一方法二由比值法得，Solution.缺少偶次幂的项级数绝对收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为2.求幂级数的和函数方法:通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级数化为可求和的级数(等比级数).Example5.Solution.Example6.Solution.Example7.Solution.

4、Solution.收敛区间(-1,1),Example9.Solution.3.将函数展开成幂级数Example10.Solution.Example11.Solution.Example12.Solution.Example13.Solution.4.将函数展开成Fourier级数Example14.把f(x)展为Fourier级数.Solution.SeeFigure所给函数满足收敛定理条件.或记为：Example15.Solution.将f(x)作周期延拓,SeeFigure显然满足收敛定理条件.所以，f(x)的Fourier级数及和函数如下：Example16.

5、Solution.(1)将f(x)作奇延拓,再作周期延拓.SeeFigure(2)将f(x)作偶延拓,再作周期延拓.SeeFigure可见f(x)的Fourier级数收敛于f(x).Theend