微分几何22曲面的第一基本形式

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1、第二节曲面的第一基本形式2、1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长1、给出曲面S：r=r(u,v)，曲面曲线(c)：u=u(t),v=v(t),或r=r[u(t),v(t)]=r(t)，若s表示弧长有所以称为曲面的第一基本形式。其中称为第一类基本量。2、曲线(C)上两点A(t0),B(t1)间的弧长为：3、用显函数样z=z(x,y)表示的曲面的第一基本形式4、第一基本形式是正定的。事实上，也可从直接得到。例2：正螺面例题1：求球面的第一基本形式2、2曲面上两方向的交角1、把两个向量和间的交角称为方向（）和（）间

2、的角。2、设两方向的夹角为，则3、特别（1）（2）对于坐标曲线的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为F=0。2、3正交曲线簇和正交轨线设有两曲线如果它们正交，则或即若另给出一簇曲线则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程是即2、4曲面域的面积如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为其中D为相对应的u,v平面上的区域，定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的交角，曲面域的面积。2、5等距变换1)曲面S到S1

3、的变换给定两曲面：S：S1：如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：，其中连续，有连续的偏导数，且这种一一对应关系称为曲面S到S1的变换。由于这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。证明：必要性设s与s1是等距的且对应点有相同的参数，则s上任一条曲线与s1上对应曲线有相同

4、的长度，即对于即有对于两曲面上的曲线都成立，即对任方向都成立，因此有充分性设两曲面有相同的第一基本形式，由于弧长由第一基本形式决定，所以它们的弧长相同。由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质（内蕴性质）在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不变量。2、6保角变换（共形变换）1）定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例。证明：设取相同的参数时两个第一基本形式为Ⅰ，

5、Ⅰ1。必要性：设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正交条件得消去得由du,dv的任意性，在du=0时有，dv=0时有因此充分性由于第一基本形式成比例，得代入交角公式知对应曲线的交角相等。特别：等距变换是它的特例。