《次B样条曲线》PPT课件

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1、曲线和曲面2.B样条曲线2.1:B样条曲线的定义2.2:B样条曲线基函数性质2.3:B样条曲线的性质2.4:二次B样条曲线2.5:三次B样条曲线2.6:二、三次B样条曲线的应用2.7:非均匀B样条曲线1.样条函数的概念1.1:一般样条函数的定义1.2:三次样条函数1.3:二次样条函数数字图像处理1.样条函数概念样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产

2、实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始，就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计的基础。数字图像处理1.1一般样条函数的定义给定一组平面上顶点(xi,yi)(i=0，1，…，n)，并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0

3、(x)是具有K阶或K阶以上连续函数。(2)在xi(i=1，2，…，n-1)处成立即S(x)在拼接点处xi(i＝1，2，…，n-1)也具有K阶连续，这也就是S(x)在整个区间[a,b]上具有K阶连续。若S(x)满足，则称S(x)为插值样条函数。数字图像处理1.2三次样条函数假设在区间〔a，b〕上给定一个分割Δ：a=x0

4、在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立:即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi具有二阶连续拼接。(3)满足插值条件yi=S(xi),i=0，1，…，n.数字图像处理1.3二次样条函数设定区间〔a,b〕上一个分割Δ：a=x0

5、的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。数字图像处理2.1B样条曲线的定义给定m+n+1个平面或空间顶点Pi(i=0，1，…，m+n)，称n次参数曲线段：为第k段n次B样条曲线段(k=0，1，…，m)，这些

6、曲线段的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。其中，基函数定义为：数字图像处理B样条曲线示例二次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例二次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例三次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例三次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例四次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例五次B样条曲线示例数字图像处理2.2B样条曲线基函数的性质B样条函数基函数为：具有如下性质：1）有界正性：当时，2）权性：即3）对称性：当时，

7、4）递推性：数字图像处理B样条曲线的基函数一次B样条曲线的基函数二次B样条曲线的基函数数字图像处理B样条曲线的基函数三次B样条曲线的基函数四次B样条曲线的基函数数字图像处理2.3B样条曲线的性质1.局部性根据定义式可知，第k段n次B样条曲线只与n+1个顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对整条曲线(当m＞＞n)产生影响。这就为设计曲线时修改某一局部的形状带来了很大的方便。如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每

8、一条曲线段由四个顶点控制。数字图像处理B样条曲线的性质2.几何不变性由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。3.连续性当给定的m+n+1个控制顶点Pi(i=0，1，…，m+n)互不相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续(Gn-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h个控制顶点重合