1.5 可测集与可测函数(讲义)

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1、1.5可测集与可测函数1.5.1可测集与可测函数定义1.5.1设是基本空间，是上的代数，且，则称是可测空间(measurablespace)，中的元素是上的可测集(measurableset)。特别地，当，时，称是Lebsgue可测空间；Lebsgue可测空间上的可测集称为Lebsgue可测集；当，时，称是Borel可测空间；Borel可测空间上的可测集（即：Borel集）称为Borel可测集.注定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在代数上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范

2、畴的概念，这已是通行的看法。定义1.5.2设是可测空间，，是定义在上的有限实函数。若对一切实数，集都是上的可测集（即：），则称是上关于的可测的函数，简称上的可测函数(measurablefunction)。特别地，当时，称是上关于的Lebsgue可测函数；当时，称是上关于的Borel可测函数。定理1.5.1设是可测空间，是定义在上的有限实函数。则是上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数，集是可测集。证设是可测函数，由于，而和都是可测集，所以是可测集。7反之，若已知对任意实数，集是可测集，则由立即得是可测集

3、。证毕！例1.5.1定义在闭区间上的任何一个连续函数都是上的Lebsgue可测函数。证对任意实数，由的连续性，集是中的闭集（自习），因此是可测集；故都是上的可测函数。例1.5.2设函数定义在上，是一组互不相交的区间，函数称为阶梯函数，它是上的Lebsgue可测函数。证因为对任意实数，或是全直线，或是空集，或是有限个区间的并，而这些都是Lebsgue可测集，所以是上的可测函数。例1.5.3设是可测空间，，，，且.是定义在上的函数，且则是上的可测函数。例1.5.4(不可测函数的例)是Lebsgue可测空间，是L

4、ebsgue不可测集，7是的特征函数，.因为是Lebsgue不可测集，所以函数不是上的Lebsgue可测函数。例1.5.5也有这样的可测空间，定义在上的所有函数都是可测函数。例如，取（此时是一个代数），是定义在上的任意一个有限实函数，对任意实数，显然，故是上的可测函数。1.5.2可测函数的性质定理1.5.2设是可测空间，是定义在上的有限实函数，则(1)若是上的可测函数，则必是可测集；反之不然（为什么？）。(2)若是上的可测函数，可测，当作为上的函数时，是上的可测函数；(3)设，若是可测集，则是上的可测函数的

5、充分必要条件是：是上的可测函数。(4)集是可测集的充分必要条件是：集的特征函数是上可测函数。证(1)因为，而根据可测函数的定义，集是可测集，所以是可测集。反之不然。因为对且，都存在.若，其任意子集都，则.(2)对任意实数，由于，而和都是可测集，所以是可测集，即作为上的函数时，它是上的可测函数。7(3)设是上的可测函数，由(2)知：是上的可测函数。反之，若是上的可测函数，对任意实数，由于，所以是可测集，即作为上的可测函数。(4)必要性：设集是可测集。因为而都是可测集，所以是上的可测函数。充分性：设是上的可测函

6、数。由上面的式子知，当时，.而是上的可测函数，故是可测集，即是可测集。证毕！注性质(3)可以推广到有限个或可列个可测集，并且的情况。定理1.5.3设是可测空间，是定义在上的有限实函数，则下面三个条件中的任何一个都是是上的可测函数的充分必要条件：(1)对任意实数，是可测集；(2)对任意实数，是可测集；(3)对任意实数，是可测集。定理1.5.4设是可测空间，，都是上的可测函数，则(1)对任意实数，是上的可测函数；(2)是上的可测函数；(3)及（对）是上的可测函数；(4)都是上的可测函数。推论1设是可测空间，，都

7、是上的可测函数，则对任意实数，是上的可测函数。7推论2设是可测空间，，是上的可测函数，则是上的可测函数。Infact由知：是上的可测函数。1.5.3可测函数的极限定理1.5.5设是可测空间，，若是上的一列可测函数，则当的上确界函数、下确界函数、上限函数、下限函数分别是有限函数时，它们都是上的可测函数。推论设是可测空间，，若是上的一列有限的可测函数，若对一切，存在，而且有有限值，则极限函数是上的可测函数。定理1.5.6设是可测空间，，若是上的有限可测函数，则必存在一列，每个是可测集的特征函数的线性组合，使得在

8、上处处收敛于.注定理1.5.6说明：用可测集的特征函数的线性组合可以逼近可测函数。※推论设是可测空间，，若是上有界的可测函数，则必存在可测集的特征函数的线性组合的函数序列，使得在上一致收敛于.注是上的有界函数是指：，对，都有.是上的有限函数是指：，都有.即：函数值都是有限实数的函数称为有限函数。显然有界函数是有限函数，反之则不然。例如：在内的任意函数值都是有限的，但它是内的无界函数。1.5.4Lebsgue积分及