数项级数敛散性判别法

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1、返回第七章无穷级数第二节数项级数敛散性判别法一、正项级数及其判别法二、交错级数及其敛散性三、绝对收敛于条件收敛第二节数项级数敛散性判别法一、正项级数及其敛散性可知数列为单调增加数列.则称为正项级数.定义若数项级数的一般项定理正项级数收敛的充分必要条件为：它的前n项部分和所构成的数列有上界.对于正项级数，由于，因此定理(比较判别法1)设两个正项级数与如果满足那么(1)若收敛,则收敛.（大的收敛小的必收敛）(2)若发散,则发散.(小的发散大的必发散）证明对于正项级数与，由则有如果收敛,可知有上界,从

2、而知有上界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知收敛.如果发散,可知无界,从而知无界.因此，级数也发散.说明：在比较判别法的条件中,只要从某一项起有就可以.推论若正项级数收敛，且存在N，当时，有，则正项级数也收敛.若正项级数发散，且存在N，当时，有，则正项级数也发散.解(1)因为例判定级数的敛散性.而级数发散，由比较法知发散.因为(2)对于正项级数而级数收敛，由比较法知收敛.例判定级数的敛散性.解故为正项级数.若取，则为等比级数且收敛，因此，由比较判别法可知收敛.因当x>0时，有sinx

3、例判定p-级数（其中p>0为常数）的敛散性.若01,将级数加括号有后者级数为等比级数,公比,级数收敛.因此，利用比较判别法可得知,当p>1时，收敛.综合上述有解(1)因为(2)因为例判定的敛散性.而级数收敛，由比较法知收敛.而级数收敛，由比较法知收敛.发散发散级数敛散性表达式收敛p-级数发散调和级数收敛等比级数级数名称在使用比较判别法时，需要根据待判别级数特征，选择一个比较级数，常用的比较级数为定理(比较

4、判别法2)设两个正项级数与且若极限则（1）当时，级数与敛散性相同.（2）当时，若级数收敛，则级数收敛.（3）当时，若级数发散，则级数发散.为了使用上的方便，比较判别法可以写成下面极限形式.例判定级数的敛散性.解所给级数的通项由或由解所给级数的通项由于例判别级数的敛散性.因为发散，由比较法知发散.解（1）由于例判别的敛散性.因为收敛，由比较法知收敛.（2）由于当时因为收敛，由比较法知收敛.说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数的敛散性.但当时，判别

5、法失效.定理(比值判别法)若正项级数后项与前项之比值的极限，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散.解(1)所以原级数收敛.例判定的敛散性.（2）所以原级数收敛.例判定级数敛散性.解原级数为正项级数，其通项为当a>e时，原级数收敛；当0

6、，级数可能收敛也可能发散.说明：如果正项级数的一般项为n次幂形式时，可以使用柯西根值判别法．但当时判别法失效.解(1)所以原级数发散.（2）所以原级数收敛.例判定的敛散性.定理(积分判别法)设是上非负单调连续函数，则正项级数与同时敛散.解因为积分所以原级数收敛.例判定级数的敛散性.3.使用比较判别法时,先选择适宜的比较级数,针对其敛散性,对级数一般项相对于比较级数进行适当的放大或缩小(或考虑相比极限),再判别其敛散性.判定正项级数的敛散性应注意以下几点：1.如果易求，应先判定是否？若则可知发散.

7、2.可先考虑利用比值判别法（或根值判别法）判定其收敛性.二、交错级数及其敛散性交错级数是指级数的各项是正负(或负正)相间的级数.设其一般式为定理(莱布尼茨定理)若交错级数满足：级数必定收敛,且其和,其余项满足则交错证明考察所给级数前2n项的部分和，由知为单调增加数列.又因括号中的值皆非负,有故数列有界且由数列极限存在定理知极限存在，设为由于，再由条件从而，可得由极限性质：若中的子列与都有极限，且两极限值相等，则必有极限.因此收敛，且其和.由于为交错级数.由前述讨论，知其收敛，且其和例判定敛散性.

8、由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.解所给级数为交错级数，且因为三、绝对收敛与条件收敛对于任意项级数定理若收敛，则必定收敛.如果对其每一项均取绝对值则可得正项级数.证由比较判别法知，因由性质知收敛.定义如果收敛，则称绝对收敛.如果级数收敛，而发散，则称条件收敛.说明：若级数绝对收敛,则该级数必定收敛.反之，若级数收敛，则未必绝对收敛.例交错级数收敛.但级数发散,故条件收敛.例判定级数的收敛性.如果它收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解此级数非交错级数，为的p-级数，为收敛级数.其通项从而知收敛，且为