3- 曲线曲面基本理论-3

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1、第三章曲线曲面建模技术第三章曲线曲面建模技术目录第三章曲线曲面基本理论21、概述21.1曲线曲面表示21.2曲线曲面基本性质41.3曲线曲面生成62、Bezier曲线曲面62.1Bezier曲线62.2Bezier曲面143、B样条曲线与曲面193.1B样条曲线193.2均匀双三次B样条曲面233.3一般B样条曲线曲面274、NURBS曲线与曲面324.1NURBS曲线324.2NURBS曲面345、曲线曲面造型方法345.1CAD系统中常见曲线生成手段345.2常见曲面生成手段365.3常见曲线曲面编辑手段395.4其它造型手段39思考与练习40第三章曲线曲面建模技

2、术第三章曲线曲面基本理论1、概述曲线曲面造型(SurfaceModeling)是计算机辅助几何设计(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用，如图3-1所示。由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B样条曲线曲面(RationalB-splineSurface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(ImplicitAlgebr

3、aicSurface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。(a)飞机(b)船舶(c)汽车图3-1曲线曲面造型应用1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。显式表示：形如的表达式。对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为。在平面曲线方程中，一个值与一个值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。隐式表示：形如的表达式。如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为。隐式表示的优点是易于判断函数是否大于、小于或等于零，也就易

4、于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。参数表示：形如，，的表达式，其中t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。如平面曲线上任一点可表示为，如图3-2(a)所示；空间曲线上任一三维点可表示为，如图3-2(b)所示。第三章曲线曲面建模技术(a)平面曲线(b)空间曲线图3-2曲线参数表示最简单的参数曲线是直线段，端点为、的直线段参数方程可表示为；(1-1)圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为(1-2)其参数形式可表示为(1-3)计算机图形学中通常用参数形式描述曲线曲面，因为参数表示的曲线曲面具有几何不变性等优点，其优

5、势主要表现在：(1)可以满足几何不变性的要求，坐标变换后仍保持几何形状不变；(2)有更大的自由度来控制曲线曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：(1-4)由上式可知只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：(1-5)与二维三次曲线的显式表达式比较，参数表达式由8个系数来控制此曲线的形状。(3)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其方程变换(因不满足几何变换不变性)；而对参数表示的曲线、曲面来说，可对其参数方程直接进行几何变换实现曲线曲面的变换。(4)便于处理斜率为无穷大的情形，即当斜率为无穷大的时候，计算也

6、不会中断。(5)参数方程中，代数或几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数没有限制，从而便于用户将低维空间的曲线、曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点有助于实现用数学公式处理几何分量。(6)规格化的参数变量使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。(7)易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。第三章曲线曲面建模技术1.2曲线曲面基本性质位置矢量：曲线上任一点的位置矢量可表示为；其一阶、二阶和阶导数矢量(如果存在的话)可分别表示为(1-9)切矢量：若曲线上、两点的参数分别是和，矢量，其大小以连接的弦长表示。如果在处有确定的切线，则当趋向于，即

7、时，导数矢量趋向于该点的切线方向。如果选择弧长作为参数，则是单位矢量。法矢量：对于空间参数曲线上任意一点，所有垂直切矢量的矢量有一束，且位于同一平面上，该平面称为法平面。若对曲线上任意一点的单位切矢为，因为，两边对求导矢得：，可见是一个与垂直的矢量。与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢。主法矢的单位矢量称为单位主法矢量。矢量积是第三个单位矢量，垂直于和。平行于矢量的法矢称为曲线在该点的副法矢，则称为单位副法矢量。对于一般参数，切矢、法矢关系如下(1-10)图3-3曲线矢量曲率和挠率：因为与平行，令，则，即称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动