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《2.2本征值和本征函数的计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军§2.2本征函数和本征值的计算..我们讨论Schrodinger方程的定态解，则解方程HEψ=ψ，这个方程的求解可以直接由矢量求解，也可以在某一表象中求解。以一维振子问题为例分几种情况讨论。对一维振子问题，其哈密顿为11222Hpm=+ωx22m1．直接矢量计算1+1引入两个辅助算符：bp=−()imωx，bp=+()imωx，2mhω2mhω+12222显然有bb=+()pmωωx+im[]px,2mhω112222⎛⎞1=+()pmxmω+hhωω=⎜⎟H+,22mhhωω⎝⎠+1⎛1
2、⎞同理可得bb=⎜H−hω⎟。hω⎝2⎠1+++++QHb=+hω()bbb，⎡⎤bb,1=bb−=bb,⎣⎦2∴11++⎛⎞Hb=+hhωω()21bb=⎜⎟b+。22⎝⎠+++++由此可以看出⎡⎤⎣⎦Hbb,0=，且(bb)=bb，所以H与厄米算符bb有共同+的本征矢。设bb的归一化本征矢λ的本征值为λ，则有+bbλ=λλ，①+2Qλbbλλ==bbλλb=λ，∴λ为大于等于零的实数，用b作用于①式有+++bbbλ=+()1bbbλλλ=b，∴bbb(λ)=−(λλ1)()b，+由此可知bλ也是bb的本征矢，其本征值为λ−1，而模为λ，所以bλλ=−λ1，1∴
3、bnλ=[λ(λ−)1L(λ−n+1)]2λ−n，(n=,2,1,0L)1高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军++因此b为下降算符，若λ为bb的本征值，则λ−n≥0也是bb的本征值，而+nb00=，因此bb的本征值λ只有是非负整数时，才能保证b是下降算符时bλ+得出的态中没有bb的本征值为负值的本征态。所以有λ=0,1,2.....。+考察用b作用于①式两边：+++++++bbbλ=−=bbb()11λλ(bb−=)bλbλ，∴+++bbb()λ=+()λλ1b，++由此可以看出bλ也是bb的本征矢，其本征值为λ+1，而2+
4、++bbλ==λλλb(11+bb)λλ=+，∴++bλλλ=++11，由此可知b是上升算符。⎛⎞⎛⎞+11Hbλ=+=+hhωλ⎜⎟⎜⎟bωλλ，⎝⎠⎝⎠22由于λ是非负整数，所以习惯上用n代替λ，即1Hn=hω(n+)n，n=,2,1,0L，2⎛⎞1所以得到本征值：En=+hω⎜⎟，n⎝⎠2++11+本征矢为：1==bb0,21,......,n+1=bn,21n+而b00=。我们将H的全部本征矢取为希尔伯特空间的基，则可得到能量表象中（占有+数表象）各算符的表示，b和b矩阵元为bm==−bnmnn1=nδ，mnmn,1−++bm==bnmnn+11+=n+1
5、δ。mnmn,1+2高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军⎛⎞0100...⎛⎞0000...⎜⎟⎜⎟∴⎜⎟0020...+⎜⎟1000...b=⎜⎟，b=⎜⎟，⎜⎟0003...⎜⎟0200...⎜⎟...⎜⎟...⎝⎠MMMM⎝⎠MMMM⎛⎞1⎜⎟000...⎛⎞0000...⎜⎟2⎜⎟⎜⎟30100...000...bb+=⎜⎟，H=hω⎜⎟2⎜⎟0020...⎜⎟⎜⎟⎜⎟0050...⎝⎠MMMM...⎜⎟2⎜⎟⎝⎠MMMMM（注意序号排列按0,1,2,3,…次序）。所以本征矢矩阵形式为⎛⎞1⎛⎞0⎛⎞0⎜⎟⎜⎟⎜⎟0
6、100=⎜⎟，1=⎜⎟，2=⎜⎟,......。⎜⎟0⎜⎟0⎜⎟1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠M⎝⎠M⎝⎠Mh+mhω+Qx=−ib()b，p=+()bb，2mω2⎛⎞0100...⎛⎞0100...⎜⎟⎜⎟∴1⎜⎟−1020...1⎜⎟1020...⎡⎤h2⎜⎟，⎡⎤mhω2⎜⎟。xi=⎢⎥⎜⎟0−203...p=⎢⎥2⎜⎟0203...⎣⎦2mω⎣⎦⎜⎟⎜⎟⎜⎟00−30...⎜⎟0030...⎜⎟⎝⎠...............⎜⎟⎝⎠...............∧∧∂可以将此结果取x表象，在x表象中：x=x，pi=−h，∂x而本征态的波函数为ψ()x=xn，n+而
7、bn=++nn11，b00=，只要求出ψ(x)=x0)，就可求出ψ()x，在0nx表象中有：1∧∧⎡⎤12⎛⎞id⎛⎞∧id⎛⎞+bp=−⎜⎟imωx=−⎜⎟+ξ，b=⎜⎟−+ξ，⎢⎥⎣⎦2mdhωξ⎝⎠2⎝⎠2⎝⎠dξmω其中ξ=αx，α=。解b00=，所以h3高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军id⎛⎞−⎜⎟+=ξψξ0()0，2⎝⎠dξ412mω−ξ解得：ψ()ξ=e2，0πh+再由bn=++nn11，可逐项求出ψ(ξ)，最后得nn412()imω−ξψ()ξξ=eH2()，nn2!nnπhnnξ2d−ξ2其中Hn(ξ
8、)=(−)
