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1、2008年4月强度与环境Apr.2007第35卷第2期STRUCTURE&ENVIRONMENTENGINEERINGVol.35,No.2结构切线刚度矩阵与割线刚度矩阵之间的关系王天英邓长根（同济大学土木工程学院，上海200092）摘要：从结构的总势能泰勒级数展开式出发，推导了结构的切线刚度矩阵和割线刚度矩阵之间的数量关系。其结果可用于结构非线性稳定性分析，并且不仅可用于有限元法，还可用于瑞利-李兹法(Rayleigh-Ritzmethod)、伽辽金法(Galerkinmethod)等。关键词：几何非线性；切线刚度矩阵；割线刚度矩阵；势能中图分类
2、号：TU311.2文献标识码：A文章编号：1006-3919(2008)02-0031-05GeneralrelationshipbetweenstructuralsecantandtangentstiffnessmatricesWANGTian-yingDENGChang-gen(CollegeofCivilEngineering,TongjiUniversity,Shanghai200092,China)Abstract：Inthispaper,thegeneralmathematicrelationshipbetweenstructurals
3、ecantandtangentstiffnessmatricesisdevelopedindetailbasedonTaylorseriesexpressionofthetotalpotentialenergy.Theresultisimportanttotheanalysisofstructuralnonlinearstability.Moreover,itcanbeusedinRayleigh-Ritzmethod,Galerkinmethod,etc.,aswellasfiniteelementmethod.Keywords:geometri
4、cnonlinearity;tangentstiffnessmatrix;secantstiffnessmatrix;potentialenergy1引言非线性稳定性分析中常用到割线刚度矩阵与切线刚度矩阵，其中，前者用于全量形式的平衡方程，后者用于增量形式的平衡方程。切线刚度矩阵常用于判断临界点的稳定性和对临界点进行分类。基于有限元法，考虑了结构可能存在初始缺陷的情况，从结构的能量表达式出发，推导了二者之间的数学关系。具体做法是：针对具有任意多自由度和任意参数变量（如任意荷载或初始缺陷）的结构，从结构的通用总势能泰勒级数展开式出发，推导得出结构的切
5、线刚度矩阵和割线刚度矩阵之间的数量关系。结论可广泛应用于离散化算法中，如有限元法，瑞利－李兹法(Rayleigh-Ritzmethod)、收稿日期：2007-04-10；修回日期：2007-09-10基金项目：国家自然科学基金资助项目（50478107）作者简介：王天英(1972-)，女，工程师，博士生，研究方向：结构稳定理论、失稳监测和稳定控制；(200092)上海市杨浦区密云路528弄博士生5号楼1401-5#.32强度与环境2008年伽辽金法(Galerkinmethod)等。2切线刚度矩阵与割线刚度矩阵关系式推导2.1平衡方程的两种形式几何
6、非线性分析的全量形式的平衡方程可表示为矩阵形式的非线性代数方程组：KUVUP(,)=(1)s式中，K为割线刚度矩阵；U为节点位移列向量；V为参数向量；P为节点荷载列向量。s增量形式的平衡方程可写成：KUVUP(,)dd=(2)t实际工程中常取有限小量∆U、∆P分别代替dU和dP，即：KUVUP(,)∆=∆(3)t其中，K为切线刚度矩阵；∆U为节点位移增量列向量；∆P为节点荷载增量列向量。t2.2关系式推导0设在某一平衡点O处的位移为Ui(1=,2,,)?n，在该点附近的平衡路径上任意一点的位移为i0Ui(1=,2,,)?n，位移增量为uUUi=−(
7、1=,2,,)?n；vp(1=,2,,)?n为参数变量，如荷载参数iiiipp或初始缺陷参数。将保守系统的总势能∏(,)uv在平衡点O处展开成泰勒级数：ip00110010∏=(,)uv∏+∏u+∏+uu∏+uuu∏uuuu+h.o.t.(1in=,2,,)?(4)ipiiijijijkijkijklijkl2!3!4!200∂∏00∂∏上式采用求和约定，并且∏=∏()v=，∏=∏()v=，?。其中，jkl,,1,2,,=?n。iipijijp∂u∂∂uuiui=0ijui=0∂∏平衡方程的一般表达式为∏==0(in=1,2,?,)，且保守系统的总
8、势能的偏导数具有可交换性，i∂ui所以有：∂∏001100∏==∏+∏uu+∏uu+∏uu+h.o.t.=0(1in=,2
