泰勒级数与函数展开成幂级数

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1、§11.1两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:11.5.1、泰勒(Taylor)级数11.5.3、泰勒级数的收敛性泰勒级数与函数展开成幂级数第十一章11.5.4、函数展开成幂级数的方法11.5.2、泰勒(Taylor)多项式若函数在(a,b)内有任意阶的导数，且可以生成级数。令则11.5.1泰勒(Taylor)级数求出系数，即可求出级数。（将x=x0代入）为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:定义11.8若函数的某邻域内具有任意

2、阶导数,机动目录上页下页返回结束例11.求函数的麦克劳林级数.解:其收敛半径为故所求麦克劳林级数为故得级数Pn(x)称为的n阶泰勒多项式.定义11.9阶的导数,时,有则当泰勒目录上页下页返回结束11.5.2、泰勒公式例11.求函数在x=0的n阶泰勒多项式。解:所以，64202464224解:Pn(x)=例11.32写出在x=0处的n阶泰勒多项式。42246420246机动目录上页下页返回结束42246420246泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束定理11.13泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当11.5.2、泰勒级数的收敛性公式①称为的n

3、阶泰勒公式.问题：只要在处的任意阶导数存在，就可以写出在处的泰勒级数，但在处的泰勒级数是否收敛，即不一定是它的泰勒级数的和函数。定理11.14.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有即使收敛，那么是否一定收敛于公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.例1.将函数展开成x的幂级数.解:由泰勒定理对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)机动目录上页下页返回结束由例11.32，它在x=0处的泰勒多项式为例2.将展开成x的幂级数.解:由例11.32，它在x=0处的

4、泰勒多项式为对任何有限数x,其余项满足机动目录上页下页返回结束类似地，可得当m=–1时11.5.4、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得将所给函数展开成幂级数.机动目录上页下页返回结束例5.将展成解

5、:因为的幂级数.机动目录上页下页返回结束而所以例6.将展成解:的幂级数.机动目录上页下页返回结束解:因为例7.将展成的幂级数.所以例8.将展成x－1的幂级数.解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–1时机动目录上页下页返回结束作业P2791,2(4);3(1)