浙江省瓯海区三溪中学高一数学《平面向量数量积》课件

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1、平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

2、λa

3、=

4、λ

5、

6、a

7、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ

8、＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

9、F

10、

11、S

12、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

13、a

14、

15、b

16、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=

17、a

18、

19、b

20、cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。

21、a

22、cosθ（

23、b

24、cosθ）叫做向量a在b方向上（向

25、量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

26、a

27、

28、b

29、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB1例1已知

30、a

31、=5，

32、b

33、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。a·b的几何意义：OABθ

34、b

35、cosθabB1等于的长度与的乘积。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量

36、b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．对任意向量a有√××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，则(a+b)·c=ON

37、c

38、=(OM+MN)

39、c

40、=OM

41、c

42、+MN

43、c

44、=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)注：？例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）

45、(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例4的夹角为2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用二、新课学习1、平面向量数量积的坐标表示如图，是x轴上的单位向量，是

46、y轴上的单位向量，由于所以xyoB(x2,y2)A(x1,y1)...110下面研究怎样用设两个非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),则故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即xoB(x2,y2)A(x1,y1)y根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。2、向量的模和两点间的距离公式（1）垂直3、两向量垂直和平行的坐标表示（2）平行4、两向量夹角公式的坐标运算三、基本技能的形成与巩固例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B

47、(2,3)C(-2,5)x0y练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.yBAOx四、逆向及综合运用例3（1）已知=（4，3），向量是垂直于的单位向量，求.提高练习2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.矩形3、已知=(1，2)，=(-3，2)，若k+2与2-4平行，则k=.-1作业课本Ｐ１１9Ａ组5（1），9，10，11.小结１、理解各公式的正向及逆向运用；２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式

48、，形成转化技能。