清华微积分(高等数学)课件--微积分(一)小结

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1、微积分（一）小结一.函数1.定义10/7/20211（1）有界性2.函数的初等性质（3）奇偶性（4）周期性（2）单调性10/7/202124.会分析复合函数中变量的关系，会求给定函数的反函数。3.利用函数符号描述有关函数的性质；要求1.要熟练掌握基本初等函数的定义域、值域及图形；2.利用给定条件或问题，找出函数关系及定义域；10/7/202131.极限的定义二、函数的极限10/7/202142.极限的性质（1）唯一性:（2）有界性:（3）保号性:10/7/202153.极限的运算法则（1）四则运算法则（2）复合函数的极限法则4.

2、无穷小量的比较（3）夹逼定理10/7/20216[注意]并非所有无穷小量都可以进行比较例如而不存在10/7/20217搞清以下关系（4）无穷大量与无界函数的关系.10/7/202186.求未定型极限的方法(1)利用基本公式:10/7/20219(2)利用等价无穷小替换；(3)利用罗必达法则；(4)利用夹逼定理；(5)利用泰勒公式10/7/202110要求(2)熟练掌握极限的性质，能够运用它们分析证明简单的问题.(3)能够熟练的运用极限的各种运算法则、重要极限及定理求函数的极限。(1)正确理解函数极限的概念。10/7/202111

3、三.连续函数1.定义要求(1)能叙述两种函数在连续的等价定义.(2)会确定间断点及其类型.10/7/2021122.连续函数的性质(1)两个连续函数经有限次四则运算和复合得到的新函数仍是连续函数。(2)若函数，则有以下重要定理：1）有界定理2）根值定理（零点定理）3）介值定理10/7/2021134）最值定理3.初等函数在其定义区间上是连续的要求(2)掌握连续函数的性质，并能够运用它们分析证明简单的问题。(1)会利用初等函数的连续性求函数的极限。10/7/202114四.导数与微分1.基本概念(1)导数定义设函数在点及其附近有定

4、义，如果极限存在，则称函数在可导，在的导数记作。10/7/202115(2)微分定义10/7/202116(3)高阶导数的定义10/7/202117(4)可微与可导的关系2.基本导数公式(5)可微与连续的关系10/7/20211810/7/20211910/7/2021203.导数的运算法则(1)导数的四则运算法则(2)复合函数求导的链式法则(3)隐函数求导法(4)反函数求导法(5)参数方程求导法(6)对数微分法(7)高阶导数的莱布尼兹公式10/7/2021214.导函数的性质(1)导数的零点定理(2)导数的介值定理(3)导函数

5、在定义区间内无第一类间断点。10/7/202122要求(1)掌握导数概念、物理意义及几何意义，会用定义求分段函数在分点处的导数。(2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。(3)熟记基本导数（微分）公式。(4)熟练运用各种求导(微分)法则求初等函数的导数、微分。10/7/202123五.导数应用1.微分学基本定理(1)罗尔定理(2)拉格朗日定理(3)柯西定理2.函数的增减性10/7/2021243.函数的极值(1)极值的概念:10/7/202125(2)极值的必要条件（费马定理）(3)极值的充分条件10/7/2021264

6、.函数的凸性(2)凸性的判别法10/7/202127(3)拐点的定义与判别1)定义曲线的上凸弧与下凸弧的分界点10/7/2021285.曲线的渐近线10/7/20212910/7/2021306.罗必达法则10/7/2021317.泰勒公式（1）皮亚诺型余项的泰勒公式10/7/2021322.拉格朗日型余项的泰勒公式10/7/2021333.常用的麦克劳林公式10/7/20213410/7/202135要求10/7/202136(9)利用泰勒公式求极限、证明不等式(8)会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰勒公式10/7/202

7、137[例1][证]设10/7/202138从而所以10/7/202139[例2][证]则10/7/202140[例3][证]反证法。设另有交点则对函数有由罗尔定理10/7/20214110/7/202142