系统的数学模型和建模方法1

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1、第二章系统的数学模型和建模方法第一章论述了有关系统、模型和仿真的基本概念，系统是研究的对象，模型是系统行为特性的描述，仿真则是建立在模型上的试验。任何系统的动态特性都取决于两大因素，即内因（系统的结构、参数、初始状态）和外因（输入信息和干扰等）。换句话说，任何一个实际系统，不论它是电的、机械的、还是液压的；也不论是生物学的还是经济学的，只要能把它的内外两大因素都用数学表达式描述出来，也就是得到了系统的数学模型。有了它，便可以在计算机上研究实际系统的动态特性了。建立系统的数学模型的基本要求是：（1）清晰性系统模型往往是由许多分系统、子系

2、统模型构成的，在模型与模型间，除了研究目的需要的信息联系外，相互耦合要尽可能少，结构尽可能清晰。（2）切题性模型只应包括与研究目的有关的那些信息，而不是真实系统的一切方面。因此对于同一个系统，模型不是唯一的，根据不同的研究目的，模型也不同。（3）精确性在建立系统模型时，应该考虑所收集的用以建立模型的信息的精确程度，精确程度是要根据所研究问题的性质和所要解决的问题来确定的。对于不同的工程，精度要求是不一样的。即使对于同一个工程，由于研究的问题不同，精度要求可能不一样。（4）集合性是指把一些个别的实体能组成更大实体的程度，对于一个系统实体

3、的分割，在可能时应尽量合并为大的实体。本章首先介绍了数学模型的分类和方法学，然后对连续系统模型以及离散事件系统模型的数学模型作了介绍。最后简介了数学模型间的转换。382.1数学模型的分类数学模型是计算机仿真的基础和前提，因此掌握系统数学模型的形式和种类是重要的。系统的数学模型分类方法很多，这里仅讨论其中常用的两种分类。（1）根据模型的时间集合可以分为连续时间模型和离散时间模型。连续时间模型中的时间用实数来表示，即系统的状态可以在任意时刻点获得。离散时间模型中的时间用整数来表示，即系统的状态只能在离散的时刻点上获得，这里的整数时间只定性

4、地表示时间离散，而不一定是绝对时间。（2）根据模型中的状态变量可以分为连续变化模型和离散变化模型。连续变化模型中，系统的状态变量是随时间连续变化的。在离散变化模型中，系统状态变量的变化是不连续的，即它只在特定时刻变化，而在两个特定时刻之间系统状态保持不变。按上述两种分类方法对模型进行分类时，各类模型中状态变量的轨迹特征如图2.1所示。在图2.1中，第Ⅰ类模型系统状态随时间连续变化，且在任意时间皆可获得系统状态变量值，此类系统是真正的连续系统，其对应的一般是常微分方程模型和连续时间的偏微分方程模型；第Ⅱ类模型系统状态随时间连续变化，而只

5、在离散时间点上获取系统状态变量值，一般称为离散采样系统，所对应的是离散时间的偏微分方程模型和系统动力学模型；第Ⅲ类模型系统状态在离散时间点上变化，系统的状态变量值可以连续表示，对应的是离散事件模型；第Ⅳ类模型在系统状态变化和时间集合上都是离散的，所对应的是差分方程模型。从上述四类模型中可以看出，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ类三种模型都可以表示成方程的形式，而离散事件模型通常不能用方程来描述。这个差别造成解决问题的仿真方法不同。用方程形式描述的数学模型归结为连续系统模型，利用连续系统仿真方法求解。离散事件仿真模型则利用离散事件系统仿真方法。本章中所指的

6、数学模型，既包含连续系统的数学方程模型，也包含离散事件系统的逻辑流图和网络图模型。38图2.1连续模型与离散模型示意图2.2数学模型建模基本方法模型建立的任务是要确定模型的结构和参数，下面介绍建模的基本要求和方法。2.2.1建模过程的信息源建模的“信息源”对建模是很有用的。可以认为：建模活动本身是一个持续的、永无止境的活动集合。然而，由于以下事实产生了一些限制：即在一个给定的时间点，建模过程采取一个“建模计划”的形式，在开销与时间的限制条件下，科学工作在进行时要考虑一组研究对象、资金与人力等。在系统设计时，分析者将利用他们的技能及“沟

7、通”不同资源的信息技术，直到获得一个满意的结果。数学建模信息源可以用图2.2表示。它有三类主要的信息源：1．目标和目的一个数学模型事实上是对一个真实过程给出了一个非常有限的映象。同一个实际系统可以有很多个研究对象，这些研究对象将规定建模过程的方向。通过将现实38分成被作用部分和作用部分（用输入变量或边界条件来表示），有助于确定作为系统边界的一些因素。2．先验知识在建模工作初始阶段，所研究的过程常常是前人已经研究过的。通常随着时间的进展，关于“一类现象”的知识已经被集合、被统一成一个科学分支，在这个分支中已经发现了许多定理、原理及模型。

8、建模过程是从以往的知识源出发而进行开发的。一个人的研究结果可以成为另一些人为解决这个问题而进行研究的起点。除掉科学试验外，相同的或相关的过程可能已经被建模者为了类似的目的而进行过分析。在一些更加精密的环境下，建模者可能已