2009年全国初中数学竞赛试题及答案

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1、2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A）36（B）37（C）55（D）90答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．故选C．2．

2、已知，，且=8，则a的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）9答：C．解：由已知可得，．又=8，所以解得a=－9故选C．3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）h<1（B）h=1（C）12答：B．解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（

3、c

4、<

5、a

6、），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得，，所以．第28页共28页由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h=a2－c2=1故选B．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任

7、何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34=k－33(个)，而这些多边

8、形的内角和不少于(k－33)×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005（刀）．故选B．（第5题

9、图）ABCDOQP5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）（A）（B）（C）（D）答：D．第28页共28页（第5题图）ABCDOQP解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，QA=r－m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即，解得所以，故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a

10、013．解：由，，得．因为，a

11、钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×=368x米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)>400，所以，12.5≤x<13.5．故x=13，此时．9．已知0