2011考研数学模拟试卷数三

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1、第二周硕士研究生入学考试模拟试卷（数三）一、选择题（1-8题，每题4分）（1）已知具有二阶连续导数，为连续函数，且，，则（）（A）为的极大值点；（B）为的极小值点；（C）为曲线的拐点；（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点.【详解】由得于是可见为曲线的拐点，故选（C）（2）设函数，且，则在点处（）（A）连续但不可导；（B）可导但；（C）极限存在但不连续；（D）可微且【详解】知在点处可导，故在点处连续，即。又，故，即，故在点处连续。又，故11在点处可导即可微，且(3)已知，且，则等于（）（A）2（B）（C）4（D）【详

2、解】记为常数，于是有，即，两边积分得，由得，从而于是，即，故选（D）(4)已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为，则此微分方程为（）（A）；（B）；（C）；（D）【详解】对应齐次线性方程的通解为，特征方程为，即。可见，对应的齐次方程为，将特解代入，得，故选（D）（5）设A是矩阵，B是矩阵，则方程组与同解的充分条件是（）（A）；（B）；（C）；（D）.【详解】易知的解是的解。当A列满秩时，即时，齐次线性方程组只有零解。于是，若为的任一解，即，则一定有，从而也为的解，故组与同解。(6)设A是一个矩阵，交换A的第行，

3、第行，然后再交换其第列，第列，所得矩阵应为B，现有以下命题：①;②；③A,B的行向量组等价；④A与B为相似矩阵，其中成立的个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【详解】由题设，存在初等矩阵（交换单位矩阵E的第行，第行或第列，第列后所得矩阵），使得,11于是;；且即A～B,可见命题①，②，④均成立。令，则显然，的行向量组不等价，命题③不成立，故应选（C）（7）设随机变量X和Y相互独立，且均服从上的均匀分布，则下列随机变量中仍服从某区间上的均匀分布的是（）（A）X-Y（B）X+Y（C）（D）2X【详解】经计

4、算易得2X的分布函数为即为上的均匀分布。故选（D）(8)设为来自总体X～的简单随机样本，且服从分布，则常数和分布的自由度分别为（）（A）（B）（C）（D）【详解】因～，从而～，～故～，即选（C）二、填空题（9-14题，每题4分）（9）设在点可导，且则【详解】由知，于是11（10）曲线在点处的切线方程为【详解】，，，，故过处的切线方程为（11）设函数的二阶偏导数存在，且，则【详解】由知，由得，于是，从而，又，故（12）设正项级数收敛，则级数的敛散性为【详解】正项级数收敛，所以且又，于是正项级数与有相同的敛散性，即收敛

5、，且也收敛。又，级数收敛，所以，由比较判别法，级数绝对收敛。（13）设A为3阶矩阵，为3维线性无关的列向量，且则【详解】由知，11若令，则可逆，且，即A～B，从而～于是(14)已知随机变量X和Y的分布律为X-11P1/21/2Y01P1/43/4而且,则X与Y的相关系数为【详解】由易得X与Y的联和分布律为YX01-1011,故三、解答题：15-23小题，共94分（15）（本题10分）已知，且，11试求【详解】由知又，代入表达式有，故由及知于是因为，即～原式(16)（本题10分）设，问为何值时，在处一阶导数连续，但二

6、阶导数不存在？【详解】因为而在处连续，所以.又所以，且11因为所以时，在处连续。所以即时，在处二阶不可导。综上所述，，为所求之值。（17）（本题10分）计算二重积分其中：表示不超过的最大整数.【详解】将正方形区域D用三条直线分成四个区域：，即于是，（18）（本题10分）设在区间上由曲线与轴所围成的平面图形的面积为，求级数的值。【详解】当为偶数时，，当为奇数时，，所以令，则得11又所以（19）（本题10分）设在区间上有三阶连续导数，证明存在实数使得【详解】将在处按泰勒公式展开，有令分别为得，两式相减得，由于在上连续，

7、不妨设在上的最大值，最小值为,则，根据介值定理，，使得于是，即对于，有（20）（本题11分）设为三维单位列向量，并且，记证明：（I）齐次线性方程组有非零解；（II）A相似于矩阵【详解】（I）因为A为3阶方阵，且于是故有非零解（II）由（I）知，从而A有零特征值的非零解即为对应11的特征向量.又且，故为A的特征值，为对应的特征向量。另外，由可知为两个正交的非零向量，从而线性无关。所以为A的3个线性无关的特征向量，为A的2重特征值，为A的单重特征值。记则，即A相似于矩阵（21）（本题11分）已知方程组有无穷多解，矩阵A

8、的特征值是，对应的特征向量依次是，（I）求矩阵A；（II）求的基础解系【详解】（I）当及时，方程组均有无穷多解当时，则线性相关，不合题意当时，则线性无关，可作为三个不同特征值的特征向量由知（II），可见的基础解系即为的特征向量11（22）（本题11分）设二维随机变量的概率密度为（I）求的概率密度函数；（II）计算；（III）计算X与Y的相关系数【详解】（I）