2007~2011年概率论与统计部分考研试题及解答

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1、概率论与数理统计历年考研试题及解答2011年1、设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是（A）（B）（C）（D）解由于；故选(D).2、设随机变量与相互独立，且与存在，记,，则（）（A）（B）（C）（D）3、设总体服从参数的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量，（A）（B）（C）（D）解为来自总体制泊松分布的简单随机样本，则相互独立，且；又由，有因为，所以.故选（D）.4、设随机事件A，B满足且，则必有（）（A）（B）（C）（D）解因为，，有，，故故选（B）.5、设二维随即变量服从，则____

2、_.解因为，则，，从而有又由知相互独立，于是与也独立；故.6、X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3，求：（1）的分布；（2）的分布；（3）.解（1）由有，因此有，所以同理有.故的分布律为-101001/301/311/301/32/31/31/31/3（2）Z取值为-1,0,1；有；.故的分布律为-1011/31/31/3(3)由离散型随机变量的计算公式经计算可得，故7、设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知，和分别表示样本均值和样本方差，（1）求参数的最大似然估计；（2）计算和解（1）已知时，似然函数为两边

3、同时取对数有令解得的最大似然估计为:.（2）.因为，所以，故8、在上服从均匀分布，由与所围成.(1)求边缘密度；(2)求条件分布；(3)求概率..解（1）如图1所示，，由于在上服从均匀分布，则联合密度函数为故随机变量边缘密度为图1(2)随机变量边缘密度为（3）注：第三问也可利用面积比去求.2010年1、设随机变量的分布函数，则.  （A）（Ｂ）    （C）  （D）解由概率值与分布函数的定义知：故选（C）.2、设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若，为概率密度，则应满足（A） （B）  （C） (D)解由题意知

4、：，因为是概率密度函数，满足，所以有：即.故选（A）.3、设是来自总体的简单随机样本.记统计量，则.解根据简单随机样本的性质，相互独立且与总体同分布，即，于是，因此.4、设随机变量概率分布为，则.解由泊松分布概率和等于1知：，有，从而，故.5、设二维随机变量的概率密度为，，，求常数A及条件概率密度.解利用泊松分布可得因此，又于是有，，6、箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别是1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数.（Ⅰ）求随机变量的概率分布；（Ⅱ）求.解（Ⅰ）是二维离散型随机变量，只能取

5、0和1，而可以取0，1，2各值，由于，，，，，；于是得的联合概率分布01203/156/151/152/313/152/1501/36/158/151/15（Ⅱ）根据的联合概率分布表可以计算出，于是有.7、设总体的概率分布为 123其中参数未知，以表示来自总体的简单随机样本（样本容量为）中等于的个数.试求常数，使为的无偏估计量，并求的方差.解由题意有：，，，则因为为的无偏估计量，有，所以，从而有.故；.2009年1、设事件与事件互不相容，，则（）解因为互不相容，所以.，因为不一定等于1，所以不正确；当不为0时，不成立，故排除；只有

6、当互为对立事件的时候才成立，故排除，故正确.2、设随机变量的分布函数，其中为标准正态分布的分布函数，则（）解由有，从而而，因此.故选.3、设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=，记为随机变量Z=XY的分布函数，则函数的间断点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3解由于X，Y独立，从而（1）若z<0，则，（2）若z0，则因此为间断点，故选（B）4、设总体的概率密度，其中参数未知，若是来自总体的简单随机样本，是的估计量，则_____________解5、设为来自二项分

7、布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量，则=_________.解由于为的无偏估计量，则有因此6、设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差.记统计量，则=_________.解由7、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（I）求条件概率密度；（II）求条件概率.解（I）得其边缘密度函数故；即（II）从而,故.8、袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球的红、黑、白球的个数；（I）求；（II）求二维随机变量的概率分布.解（I）在没有取白

8、球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以.（II）取值范围为0，1，2，故，，，01201/41/61/3611/31/9021/900注:这是一个放回摸球问题的简单推广，属于