自考 概率论与数理统计(4)

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1、4.1随机变量的期望　　4.1.1离散型随机变量的期望　　引例10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。　　【答疑编号：10040101针对该题提问】　　解：平均分为：　　　　从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。这是由于60分出现的机会多于100分，上面方法出现了60分出现的频率多。100分的频率小，能正确计算平均值。　　定义　若X的分布律为P（X=xi）=pi，i=1，2…　　　　当级数绝对收敛时（即收敛）　　就说是离散型随机变量X的期望

2、。记作EX，即　　　　说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，xn　　则　　　（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，xn…　　则　　　这时才要求无穷级数绝对收敛。　　很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。　　【例4-1】设随机变量X的分布律为　　　　求E（X）　　解E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2　　【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为　　　　　　试比较他们成绩的好坏。　　【答疑编号：10040

3、102针对该题提问】　　解我们分别计算X和Y的数学期望：　　EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。　　EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。　　这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。　　4.1.2下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。　　1.两点分布　　随机变量X的分布律为　　　　其中0＜p＜1，有　EX=0×（1-p）+1×p=p。　　2.二项分布　　设X～B（n,p），即　　　可以证明它的期

4、望EX=np　　二项分布的数学期望np，有着明显的概率意义。比如掷硬币试验，设出现正面概率若进行100次试验，则可以“期望”出现次正面，这正是期望这一名称的来由。　　3.泊松分布　　设其分布律为　　　　则X数学期望为EX=　　小结上面的结果，有下面公式分布EXX～（0,1）X～B（n,p）X～P（λ）pnp　　今后在上面三种情形下，期望EX不必用定义计算，可以直接套用公式。　　例如若X～B（10，0.8），则EX=10×0.8=8　　若X～P（3），则EX=3。　　4.1.3　下面介绍离散型随机变量

5、函数的数学期望。　　定理4-1设离散型随机变量X的分布律为　　P{X=xk}=pk，k=1，2，…。　　令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为　　　　特别情形　　　　　　　　【例4-5】设随机变量X的分布律为　　　　令Y=2X+1，求E（Y）。　　【答疑编号：10040103针对该题提问】　　解　　EY=（2×（-1）+1）×0.3+（2×0+1）×0.2+（2×1+1）×0.4+（2×2+1）×0.1　　=（-1）×0.3+1×0.2+3×0.4+5×0.1=1.6。　　【例4-

6、6】设随机变量X的分布律为　　　　且Y=X2，求EY。　　【答疑编号：10040104针对该题提问】　　解　　　　　　=（-1）2×0.3+02×0.2+0.52×0.1+12×0.1+22×0.3　　　　　　=0.3+0.025+0.1+1.2=1.625。　　　　4.1.4连续型随机变量的期望　　对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将和式中的xi改变x,pi改变为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数）以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。

7、　　定义4-2设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即　　　　【例4-7】设随机变量X的概率密度为　　　　求E（X）。　　【答疑编号：10040105针对该题提问】　　解　　　　　　　　　【例4-8】设随机变量X的概率密度函数为　　　　求E（X）。　　【答疑编号：10040106针对该题提问】　　解因为f（x）只在有限区间上不为零，且在该区间上为连续函数，所以E（X）存在，且　　　　根据奇函数的性质知道E（X）=0。

8、　　下面介绍几种重要连续型随机变量的期望。　　1.均匀分布　　设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为　　　　则　　　　　　　　在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。　　2.指数分布　　设随机变量X服从参数为λ>0的指数分布，其概率密度为　　　　解：在微积分中有　　　　　　　　即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。　　3.正态分布　　设其概率密度为　　　　则X的期望　　E（X）=μ。（不证）　　上面三种情况列表如下（可以作为公式使用）分