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1、§3.2三角函数的综合运用考情动态分析本节主要复习三角函数式的最值、三角函数在三角形中的应用以及以三角函数为工具解决一些实际问题.求三角函数式的最值,常见的方法有化为一个角的一个三角函数的形式,与二次函数相结合,利用三角函数的有界性,利用函数的单调性,以及常见的求函数最值的方法等.对三角形中问题的复习,主要是正、余弦定理以及解三角形,要掌握基本知识、概念、公式,理解其中的基本数量关系,对三角形中三角变换的综合题要求不必太难.总之,在复习中,要立足基本公式;在解题时,要注意条件与结论的联系;在变形过程
2、中,要不断寻找差异,讲究算理.通过本节复习掌握三角函数综合问题的一般解法,以适应高考.考题名师诠释【例1】(2005全国高考Ⅰ，19)△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列，且cosB=.(Ⅰ)求cotA+cotC的值；(Ⅱ)设·=,求a+c的值.分析：a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且a,b,c成等比数列，易知求解中要用到正弦定理；求cotA+cotC的值，首先应该对其适当变形，变形时，既可用同角三角函数的关系式，也可用三角形的边角关系，然后根据变
3、形后的具体形式计算.第(Ⅱ)问涉及平面向量的数量积，可以先得到ac的值，再由余弦定理计算出a2+c2,即可得a+c的值.解法1：(Ⅰ)由cosB=得sinB==.由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,于是cotA+cotC=+=+===.(Ⅱ)由·=得ca·cosB=.由cosB=，可得ca=2,即b2=2.由余弦定理b2=a2+c2-2ac·cosB,得a2+c2=b2+2ac·cosB=5,(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,所以a+c=3.解法2：(Ⅰ)由cosB=得
4、sinB==.由a,b,c成等比数列知b2=ac,由正弦定理得sin2B=sinAsinC.如右图，AC边上的高为BD.cotA+cotC=+=.又BD=csinA=asinC,则BD2=acsinAsinC=b2sin2B,因此cotA+cotC==.(Ⅱ)由·=得cacosB=得，则ac=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,且b2=ac,所以ac=a2+c2-3,(a+c)2=a2+c2+2ac=3ac+3=9.则a+c=3.点评：本题将三角函数、等比数列及向量知识有机结合，并不单纯
5、考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理.这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考查综合数学素养的要求.本题难易适中，容易入手，只要熟练掌握了三角函数的基础知识，就可以做出本题的大部分.所以复习时关键在于对基础知识的掌握，然后才是综合分析及灵活运用知识能力的培养.【例2】(2006山东烟台高三诊测，18)已知函数f
6、(x)=·,其中=(sinωx+cosωx,cosωx),=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0).若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=,b+c=3(b>c)，当ω最大时，f(A)=1,求边b,c的长.分析：(1)应先求出f(x)的解析式，相邻两对称轴间的距离为，从而可得出ω的不等式.(2)由ω的范围得出ω的最大值，确定f(x)的解析式.由f(A)=1求出A的值，再利用余弦定理得出a、b、c的关系.解：(
7、1)f(x)=·=cos2ωx-sin2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin(2ωx+).∵f(x)相邻两对称轴间的距离不小于，∴≥，∴0<ω≤1.(2)当ω最大时，ω=1，∴f(x)=2sin(2x+),∵f(A)=1,∴2sin(2A+)=1,又<2A+<π,∴2A+=π,∴A=.在△ABC中，3=b2+c2-2bccos,∴b2+c2-bc=3,又b+c=3,(b>c)∴b=2,c=1评述：①三角与向量联系紧密，应予以关注；②在解三角形问题中，要善于利用正、余弦定
8、理进行边角互化.【例3】(理)(2004浙江高考,17理)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=.(1)求sin2+cos2A的值;(2)若a=,求bc的最大值.解：(1)sin2+cos2A=［1-cos(B+C)］+(2cos2A-1)=(1+cosA)+(2cos2A-1)=(1+)+-1=-.(2)∵=cosA,∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2.∴bc≤a2.∵a=,∴bc≤.当且仅当b=c=时,bc=.故bc的最大值是.评述：
