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1、3.1.3空间向量的数量积运算1、两个向量的夹角：OAB2、两个向量垂直：如果=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.范围：特别地：0πABC【练习】4、两个向量的数量积：说明：①两个向量的数量积是数量还是向量？②零向量与任意向量的数量积都等于零。设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度(模)，记作。3、向量的长度（模）：5、两个向量的数量积的几何意义：OAB数量积是否满足结合律？1、数量积性质：求向量的长度(模)的依据数量积的性质：证明向量垂直的依据2、数量积满足的运算律：求向量夹角的依据注意：不满足课本P90思考：1.下列命题成
2、立吗?①若,则②若,则③填写市本P161【预习提纲】阅读并理解课本P90(包括右边的钥匙、问号)，记录、圈出需要注意的问题！练习：2、市本P161【尝试解答】T2.练习：1.判断真假：假假假假真3、市本P161【尝试解答】T2.3.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点。计算：ADFCBEO向量的数量积应用：由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角、垂直等问题的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对
3、应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.典型例题例2、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！证明：如图,已知:求证：在直线l上取向量,只要证为逆命题成立吗?分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.变式设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则△BCD是()A.钝角三角形B.直角三
4、角形C.锐角三角形D.不确定C分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.mng取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?共面向量定理mng解:在内作不与m,n重合的任一直线g,在上取非零向量因m与n相交,故向量m,n不平行,由共面向量定理,存在唯一
5、实数,使例3:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥ABABCOHOA⊥BCAH⊥BCOB⊥ACBH⊥ACH是垂心，CH⊥AB得：OC⊥AB方法2：例、市本P162T8.例4如图，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD'⊥α，∠DBD'=30°，如果AB=a,AC=BD=b，求C、D之间的距离。解：由 ，可知.由 知.babaCABD'D问：若去掉“如图”，并将“∠DBD'=30°”变成“AC与BD成60°角”，
6、结果有无变化？例3如图，已知线段 在平面 内，线段，线段 ，线段 ， ，如果 ，求 、 之间的距离。解：由 ，可知.由 知.练习、市本P162T9.例5已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°,求对角线AC'的长。解：D'C'B'DABCA'引伸：①求BD'的长；②求直线AC'和BD'的夹角的余弦值。课堂练习ABA1C1B1C1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大
7、小为()A.B.C.D.2.已知在平行六面体 中，,,求对角线 的长。B例6已知在正四面体ABCD中，E、F分别为BC和AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。ABCDEF设AB=m，∴AE与CF所成角的余弦值是小结：通过学习,我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1、证明两直线垂直;2、求两点之间的距离或线段长度;3、求两直线所成角.1．正确分清楚空间向量的夹角。选取同起点(或有数量关系)的的三个向量作为基向量。技巧2．明白两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。注意：例3已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q
8、分别是BC、AC、OA、OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN。OABCPMNQ练习2：2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的
