主干知识整合

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1、《高考数学平面向量》——大盘点一、考点说明内容要求ABC平面向量平面向量的概念√平面向量的加法、减法及数乘运算√平面向量的坐标表示√平面向量的数量积√平面向量的平行与垂直√平面向量的应用√二、知识梳理1．平行向量①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．②表示方法：如果、、是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合)，则可记为∥∥.③注意点：任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量是平行向量．2．共线向量①概念：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．②含义：“共线”的含义不是平

2、面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上．③关于两向量共线的判定：对于两非零向量，如果存在，使()，那么∥；反之，如果两向量平行，且，那么.这里的“反之”中，没有指出是非零向量．这就是说时，与的方向规定为平行．3．相等向量①概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．②识别依据：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等．如，就意味着，且与的方向相同．③理解拓展：由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变

3、它的大小和方向，是可以平行移动的，都可以用同一条有向线段表示，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．4．平行向量、共线向量、相等向量三者的异同点①共线向量即为平行向量；②共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．5．向量的数量积①已知两个向量＝()，＝()．两个非零向量垂直的充要条件：②求向量的夹角可用公式：.当且仅当两个非零向量与同方向时，，当且仅当与反方向时＝，同时与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题．③设＝()，则，对于求模有时还运用平方法．三、热点探究探究点一向量的概念及线性运算例1设两个非零向量和不共线．(1)如果.求证

4、：三点共线；(2)若，,和的夹角为60°，试确定的值，使与垂直．解：(1)∵＝＋＝∴＝5，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．∴点评：本题第一问运用了共线的条件，即与共线⇔存在使.第二问运用了垂直条件，用方程思想得到待求未知数.变式：设两个非零向量与不共线，(1)若＝+，＝，．(1)求证：三点共线；(2)试确定实数，使和共线．解：(1)∵＝+，＝，，∴、共线，又∵它们有公共点，∴三点共线．(2)∵和共线，∴存在实数，使即∴∵、是不共线的两个非零向量，∴∴∴探究点二平面向量的数量积例2在△ABC中，·＝

5、

6、＝2.(1)求2＋2的值；(2)求△ABC面积的最大值

7、．解:(1)∵

8、1

9、＝

10、－

11、＝2，∴2－2·＋2＝4，又∵·＝2，∴2＋2＝8；(2)设

12、

13、＝c，

14、

15、＝b，

16、

17、＝a，由(1)知b2＋c2＝8，a＝2，又∵∴当且仅当时取“＝”，所以面积的最大值为.变式：△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝.(1)求数量积·，·，·；(2)求△ABC的面积．解:(1)由3＋4＋5＝,可得3＋4＝－5，平方得：92＋162＋24·＝252，得·＝0.同理可得·＝－·＝－.(2)因为·＝－·＝－，所以cos∠BOC＝－，cos∠AOC＝－，故sin∠BOC＝，sin∠AOC＝.＝×1＋×＋×＝.探究点三平面向量的

18、综合应用如图2－5－1所示，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.(1)若＝，求x，y的值；(2)若＝3，

19、

20、＝4，

21、

22、＝2，且与的夹角为60°，求·的值．解:(1)∵＝，∴＋＝＋，即2＝＋，∴＝＋，即x＝，y＝.(2)∵＝3，∴＋＝3＋3，即4＝＋3，∴＝＋，∴x＝，y＝.·＝·(－)＝·－·＋·＝×22－×42＋×4×2×＝－9.点评:对向量的考查，要关注向量的坐标运算和它们的几何意义，加强数与形相结合的关注度，同时也要对向量与其他知识的综合运用给予足够重视．四、规律技巧提炼1．以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的向量化为以某一点为统一

23、起点，再进行向量运算会非常方便；2．以坐标形式出现的向量问题要尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；3．求向量的夹角可用公式：当且仅当两个非零向量与同方向时，，当且仅当与反方向时，，同时与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题.解题时要注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，取值范围为，夹角为钝角或锐角时求有关字母的范围要注意共线情况．