2.3几种重要的离散型分布

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1、1§2.3几种重要的离　　　　　　　散型分布2视常数C为随机变量，则该随机变量只有一个取值,它应当服从单点分布．一、单点分布分布函数为3如果一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则二、两点分布称Ｘ服从两点分布．为方便起见，Ｘ常取值0，与1，故又称X服从参数为0-1的分布.用下面数学语言表达：4三、二项分布（伯努利分布）此即二项分布的命名依据.5例2.7设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，其概率均为0.4，求途中遇到红灯的概率.交通岗３交通岗２交通岗1在各交通岗遇到红灯是相互独立的，6中遇到红灯的次数，则Ｘ就是在每次成功概率为0.4的3重伯努利试验中恰好成功的次数，

2、从而于是，所求概率为解考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红灯或没有遇到红灯，即成功或失败．用Ｘ表示途7解得故于是例2.8设随机变量X服从参数为的二项分布，已知求8例2.9已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率．解每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表示10个病人中痊愈的人数，则于是，所求概率为9四、泊松分布作为二项分布

3、的极限分布——泊松分布是由法国数学家和物理学家,1837年发现的．10服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在：◎服务系统在单位时间内来到的顾客数；◎击中飞机的炮弹数；◎大量螺钉中不合格品出现的次数；◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数；◎母鸡在一生中产蛋的只数．11例2.10某城市每天发生火灾的次数求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．解对立事件公式查泊松分布表（附表1）12泊松分布有一个非常实用的特性——二项分布的泊松近似．具体地讲，设其中较大，很小，而如果要计算那么可近似计算即13这个结论可叙述为：的二项分布的概率计算问题可以转化成参数较大，很小的条件下

4、，参数为☎在的泊松分布的概率计算问题．为例2.11在例2.9中，根据二项分布我们已经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认为新药有效的概率．14解二项分布的泊松近似查泊松分布表（附表1）它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．15例2.12某出租汽车公司共有出租汽车500辆，解设X是每天内出现故障的出租汽车数，则设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．16*五、超几何分布例2.13N件产品，

5、含M件是次品，随机地从这Ｎ件产品中抽取n件产品，求恰有k件次品的概率。17例2.14设有一批产品，批量为1000件，假定该批产品的次品率为1℅．若采用抽样方案（150︱2），求接受这批产品为合格的概率．解此例中，接受产品为合格的概率是注：我们用符号(n︱c)表示：随机抽取了n件产品，其中的次品数≤c的方案。18即当采用（150︱2）方案时，在每100批这样产品中，约有82批被判定是合格的.下面我们把二项分布与超几何分布作一比较．N件M件次品N-M件正品19◆如果每抽一件产品放回后，再抽下一件产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是n重伯努利试验，那么所抽的n件产品的

6、次品数其中表示次品率.◆如果产品数量足够多，不放回与放回抽样对下一次抽到次品还是正品影响甚微．于是，当Ｎ很大，而较小时，超几何分布可用二项分布去近似．即20*六、几何分布在一个每次成功概率为p的伯努利试验序列中，用X表示首次成功时的试验次数，则有：21例2.15某人独立重复地做一个试验，已知前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的2倍，求每次试验成功的概率．从而成功时的试验次数，则整理得将(2.6)式代入，解得解设每次试验成功的概率为Ｘ表示首次22几何分布的无记忆性：概率意义：任意的正整数与有设则对都没有成功的条件下，再做次试验都还没有成次试验伯努利试验序列中，在

7、前功的概率与直接做次试验没有成功的概率相等．似乎忘记了前次试验结果，这就是无记忆性．几何分布为什么有无记忆性呢？23证明很简单：因为所以由条件概率的定义，的习惯写法