高数同济§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

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1、一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性上页下页铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数在点x0也连续例1因为sinx和cosx都在区间(-+)内连续所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定义的区间内都是连续的首页>>>CompanyLogo二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间

2、Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y

3、yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的下页例2同样y=arccosx在区间[-11]上是连续的y=arctanx在区间(-+)内是连续的y=arccotx在区间(-+)内是连续的CompanyLogo反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性定理2如果

4、函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y

5、yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的例2即：单调连续的函数有单调连续的反函数.CompanyLogo定理3下页设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成>>>意义1.极限符号可以与函数符号互换;例如,CompanyLogo注:(1)把定理中的xx0换成x可得类似的定理提示:例3解下页定理3设函数yf[g

6、(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成>>>CompanyLogo设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4注意定理4是定理3的特殊情况.定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成>>>CompanyLogo设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog

7、若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4例如,CompanyLogosinu当-

8、例证明证特别地CompanyLogo例7求令ax-1=t解则x=loga(1+t)x0时t0于是利用连续性求极限举例另解:特别地=lnaCompanyLogo思考:求解:原式说明:若则有CompanyLogo练习CompanyLogo练习CompanyLogo小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.CompanyLogo续?反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?作业P683(5),

9、(6),(7);4(4),(5),(6);5提示:“反之”不成立.思考题CompanyLogo思考题1CompanyLogo思考题1解答是它的可去间断点CompanyLogo