药学高数4(函数的连续性)

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1、第五节函数的连续性一、函数的连续性二、初等函数的连续性三、函数的间断点四、闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的。函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映。连续变化的曲线对应的函数为连续函数0xy设函数在点附近有定义,把附近的点记为,则称为自变量由变到的增量(increment)。为函数在点的增量.定义1-14设函数y=f(x)在点x0及其某邻域内有定义，如果当自变量的增量x=x-x0趋向于零时，对应的函数的增量

2、y=f(x0+x)-f(x0)也趋向于零，即则称函数y=f(x)在点x0处是连续的(continuous)，称x0是函数的连续点(continuouspoint)。注意故定义中1-14极限式等价于定义1-15设函数y=f(x)在点x0及其某邻域内有定义，如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即则称函数y=f(x)在点x0处连续。设函数f(x)在区间a＜x≤b内有定义，如果左极限存在且等于f(b)，即则称函数f(x)在点b处左连续。设函数f(x)在区间a≤x＜b内有定义，

3、如果右极限存在且等于f(a)，即则称函数f(x)在点a处右连续。显然即：连续函数与连续区间若函数在开区间（a,b）内的每一个点都连续，则称函数在开区间（a,b）内连续。如果函数在开区间（a,b）内连续，且在端点a处右连续，在端点b处左连续，则称函数在闭区间[a,b]上连续。连续函数(continuousfunction)的图形是一条连续不间断的曲线。例1-32讨论函数在x=0处的连续性。解显然f(x)在x=0处有定义，且f(0)=0（无穷小与有界函数的乘积是无穷小），从而，所以f(x)在x=0处连续。二、初等函

4、数的连续性例1-33证明定理1-6基本初等函数在其定义域内是连续的。定理1-7一切初等函数在其定义区间内都是连续的。求初等函数当xx0时的极限：如果x0是初等函数f(x)定义域内的点，则例如有理整函数（即多项式函数）（其中都是常数）是初等函数，其定义域为无穷区间（－∞，+∞），则对任意的x0，有例如有理分式函数其中P(x),Q(x)都是多项式，只要x0使得分母Q(x0)≠0,x0就是初等函数F(x)定义域内的点，就可以把x0直接代入分母及分子计算例1-34求解例1-35求解在x=0处没有定义，不能把0直接代入

5、计算。先用有理化的方法把分式改写成从而定理1-8设函数u=g(x)当xx0时的极限存在且等于a，即。而函数y=f(u)在点u=a处连续，那么复合函数y=f[g(x)]当xx0时的极限存在且等于f(a)，即证明定理条件中的函数y=f(u)在点u=a处连续，从而有再考虑到，于是有或所以在满足定理1-8条件的情形下，求复合函数f[g(x)]的极限时：（1）函数f符号与极限号lim可以交换次序；（2）如果作代换u=g(x)，那么求就化为计算，这里例1-36求解x=0不是定义域内的点。三、函数的间断点如果函数f(x)

6、在点x0处不连续，则称点x0为函数y=f(x)的间断点(discontinuouspoint)。即满足下列三个条件之一的点x0为函数f(x)间断点例1-37函数在在x=1处没有定义,因此x=1为函数的间断点。但即x1时函数的极限存在，称x=1为函数的可去间断点。xy12o例1-38函数在x=0处有定义，f(0)=0。左极限与右极限都存在，但不相等，故极限不存在，所以x=0是f(x)的间断点。因为函数y=f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象，故称是函数f(x)的跳跃型间断点。xyoy=x+1y=x+11-1例1

7、-39在x=0处有定义：f(0)=1。而，即x0时函数的极限不存在但不等于x=0处的函数值f(0)。所以x=0是函数f(x)的间断点。也称为可去间断点。xyoy=x例1-40正切函数y=tanx在x=/2处没有定义，所以点x=/2是正切函数的间断点。因为，故称x=/2为正切函数tanx的无穷型间断点。例1-41函数在x=0时没有定义，所以x=0为函数的间断点。当x0时，函数值在-1与+1之间来回变动。所以点x=0叫做函数的振荡型间断点。1-1-0.50.5yx间断点分为第一类间断点和第二类间断点。左、

8、右极限不相等者称为跳跃间断点；左、右极限相等者称为可去间断点。跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，都称为第二类间断点。第一类间断点:可去型,跳跃型。第二类间断点:无穷型,振荡型。间断点可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx四、闭区间上连续函数的性质定理1-9（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小